Iloczyn Kroneckera: Różnice pomiędzy wersjami

'''Iloczynem Kroneckera''' ('''iloczynem tensorowym''') [[Macierz|macierzymacierz]]y <math>A\in M_{m\times n}</math> i macierzy <math>B\in M_{k\times l}</math> nazywa się macierz o [[wymiar macierzyMacierz|wymiarze]] <math>mk \times nl</math> postaci

A \otimes B

=\!\! \begin{bmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \cdots \\

a_{21}B & a_{22}B \\

\vdots & & \ddots

\end{bmatrix}

\!\! =\!\! \begin{bmatrix}

a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & \cdots \\

a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\

\vdots & & \ddots \\

a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} \\

a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} \\

\vdots

\end{bmatrix}.

W szczególności można mnożyć tensorowo dwa [[Przestrzeń współrzędnych|wektory kolumnowe]], dwa [[Przestrzeń współrzędnych|wektory wierszowe]] oraz wektor kolumnowy i wierszowy (np. [[iloczyn diadyczny]]).

Z definicji wynika, że mnożone macierze <math>A </math> i <math>B </math> mogą być dowolnych rozmiarów. (Zwykły [[Mnożenie macierzy|iloczyn macierzy]] jest bardziej restrykcyjny, gdyż liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy.)

== Iloczyn tensorowy wektorów ==

Z definicji iloczynu tensorowego wynika w szczególności, że iloczyny tensorowe wektorów mają różny wynik w zależności od rodzaju mnożonych wektorów.

= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}_v

\otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}_w

= \begin{bmatrix} 1 \cdot\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}_w\\ 0 \cdot\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}_w\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.</math>

'''(2)''' Iloczyn tensorowy wektorów wierszowych daje wektor wierszowy

= \begin{bmatrix} 1 , 0 \end{bmatrix}_v

\otimes \begin{bmatrix} 1 , 0 \end{bmatrix}_w

= \begin{bmatrix} 1 \cdot\begin{bmatrix} 1 , 0 \end{bmatrix}_w, 0 \cdot\begin{bmatrix} 1 , 0 \end{bmatrix}_w\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 1 , 0 , 0 , 0 \end{bmatrix}.</math>

= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}_v

\otimes \begin{bmatrix} 1 , 0 \end{bmatrix}_w

= \begin{bmatrix} 1 \cdot\begin{bmatrix} 1 , 0 \end{bmatrix}_w\\ 0 \cdot\begin{bmatrix} 1 , 0 \end{bmatrix}_w\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 1 , 0 \\ 0 , 0 \end{bmatrix}.</math>

= \begin{bmatrix} 1 , 0 \end{bmatrix}_v

\otimes \begin{bmatrix} \,\,\,\,1 \\ -1 \end{bmatrix}_w

= \begin{bmatrix} 1 \cdot\begin{bmatrix} \,\,\,\,1 \\ -1 \end{bmatrix}_w,\, 0\cdot\begin{bmatrix} \,\,\,\,1 \\ -1 \end{bmatrix}_w\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \,\,\,\,1 , 0 \\ -1 , 0 \end{bmatrix}.</math>

\end{bmatrix}.

: <math>A\otimes B \ne B\otimes A.</math>

Jeśli macierze ''<math>A, B, C, D </math>'' są takie, że zwykłe [[Mnożenie macierzy|iloczyny macierzy]]''<math>A\cdot C </math>'' i ''<math>C\cdot D </math>'' istnieją, to iloczyn zwykły dwóch iloczynów tensorowych jest równy iloczynowi tensorowemu odpowiednich iloczynów zwykłych macierzy, w ten sposób że:

: <math>(A\otimes B)\cdot(C\otimes D) = (A\cdot C)\otimes (B\cdot D).</math>

Jeśli macierze <math>A , B</math> są [[Macierz odwrotna|odwracalne]], to:

* odwracalna jest macierz <math>A \otimes B</math> oraz

* [[Macierz odwrotna|odwrotność macierzy]] <math>A \otimes B</math> jest równa iloczynowi tensorowemu odwrotności macierzy <math>A</math> przez odwrotność macierzy <math>B,</math>, tj.

: <math>(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.</math>

Zachodzi rozdzielność mnożenia tensorowego macierzy przez sumę macierzy ''<math>B, C </math>'' (przy czym zakłada się, że macierze ''<math>B, C </math>'' są tych samych wymiarów), tj.

: <math>A\otimes (B+C)= A\otimes B + A\otimes C,</math>

: <math>(B+C)\otimes A= B\otimes A + C\otimes A.</math>

: <math>(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.</math>

Jeśli macierze <math>A,B</math> są macierzami [[Macierz kwadratowa|kwadratowymi]] wymiarów odpowiednio ''m'' i ''n'', to

[[wyznacznik macierzy|wyznacznik]] (''det)'', [[rząd macierzy|rząd]] (''rz'') oraz [[śladŚlad (algebra macierzyliniowa)|ślad]] (''tr'') macierzy będącej iloczynem tensorowym wyrażają się przez iloczyny wyznaczników, śladów i rzędów mnożonych tensorowo macierzy <math>A,B</math> wg wzorów:

: <math>\det(A\otimes B) = (\det A)^{n}\cdot (\det B)^{m},</math>

: <math>tr(A\otimes B)=tr(A)\cdot tr(B),</math>

: <math>rz(A\otimes B)=rz(A)\cdot rz(B).</math>

Niech <math>\{\lambda_{i}lambda_i |\,\,\, i= 1,\ldots, m\}</math> oraz <math>\{\mu_{j}mu_j|\,\,\, j=1,\ldots,n\}</math> są zbiorami wszystkich [[Wektory i wartości własne|wartości własnych]] odpowiednio macierzy <math>A</math> oraz <math>B.</math>. Wtedy zbiór wszystkich wartości własnych iloczynu tensorowego <math>A \otimes B</math> tworzą iloczyny wartości własnych <math>\lambda_{i}lambda_i\mu_{j}mu_j,</math> , tj.

: <math>\{\lambda_{i}lambda_i\mu_{j}mu_j|\quad i = 1,\ldots, m, \quad j = 1,\ldots,n\}.</math>

== Wzór ogólny na współczynniki macierzy <math>A \otimes B</math> ==

Niech <math>A = [ a_{ij} ]_{i = 1,\ldots,m,\atop{j = 1,\ldots,n}}</math> oraz <math>B = [ b_{pq} ]_{p = 1,\ldots,k,\atop{q = 1,\ldots,l}}.</math>. Wtedy współczynniki macierzy będącej iloczynem Kroneckera dane są wzorem

: <math>(A\otimes B)_{ij} = a_{((i - 1) \ div \ k) + 1,((j - 1) \ div\ l) + 1}\cdot b_{((i - 1) \ mod\ k) + 1,((j - 1) \ mod\ l) + 1},</math>

* [[Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych|iloczyn tensorowy operatorów]]