Regula falsi: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 81 bajtów ,  3 lata temu
m
m (Anulowanie wersji 51168539 autora 193.105.35.209 (dyskusja), przywrócenie poprzedniej wersji, Potrzebne źródło)
m (WP:SK+Bn)
Na funkcję <math>y=f(x)</math> nakładane są następujące ograniczenia:
# W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
# Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: <math>f(a)f(b) < 0.</math>.
# Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.
 
* Punkt przecięcia <math>x_1</math> z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
* Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
* Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty <math>(x_1, f(x_1))</math> oraz <math>A</math> lub <math>B</math> – wybierany jest ten punkt, którego [[rzędna]] ma znak przeciwny do <math>f(x_1).</math>. Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
* Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX (<math>(x_i)</math>) i algorytm powtarza się.
 
Nazwa metody pochodzi od [[Łacina|łacińskich]] słów: ''regula''<supref>[http://lysy2.archives.nd.edu/cgi-bin/words.exe?regula 1lysy2.archives.nd.edu/cgi-bin/words.exe?regula].</supref>'' znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i ''falsus'', fałszywy – metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako „fałszywa linia prosta”, jak i „fałszywa reguła” i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.
 
== Wzory ==
<math>x_{1}x_1=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}</math>
 
<math>x_{i+1}=\left\{\begin{matrix}
<math>x_{i+1}=\left\{\begin{matrix} \frac{x_i f(a) - a f(x_i)}{f(a) - f(x_i)} & gdy &f(a)f(x_i)>= 0 \\ \\ \frac{x_i f(b) - b f(x_i)}{f(b) - f(x_i)} & gdy&f(b)f(x_i)<0 \end{matrix}\right.</math>
\frac{x_i f(a) - a f(x_i)}{f(a) - f(x_i)} & gdy &f(a)f(x_i)>= 0 \\ [.5em]
\frac{x_i f(b) - b f(x_i)}{f(b) - f(x_i)} & gdy&f(b)f(x_i)<0
\end{matrix}\right.</math>
 
dla <math>i=1,2,...</math>
 
Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:
* [[algorytm Illinois]] (zmodyfikowana metoda siecznych)
* [[Metoda równego podziału|metoda bisekcji]]
* [[metoda siecznych]]
* [[Metoda Newtona|metoda Newtona (metoda stycznych)]]
* [[metoda siecznych]]
* [[odwrotna interpolacja kwadratowa]]
 
* [[algorytm Illinois]] (zmodyfikowana metoda siecznych)
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
 
== Linki zewnętrzne ==