Określoność formy: Różnice pomiędzy wersjami

dla wszystkich <math>\mathbf x \ne \mathbf 0.</math> Niezdegenerowane<ref group="uwaga">Forma kwadratowa jest niezdegenerowana, gdy przyjmuje wartość zerową wyłącznie dla argumentu zerowego: <math> Q(\mathbf x) \ne 0</math> tylko dla <math> \mathbf x = \mathbf 0.</math></ref> formy kwadratowe, które nie są ani dodatnio, ani ujemnie określone, nazywa się ''nieokreślonymi''. Rozpatruje się także nierówności nieostre: mówi się wtedy o formach

Wszystkie dodatnio określone formy na przestrzeni wymiaru <math>n</math> są równoważne<ref group="uwaga" name="equiv">Formy kwadratowe <math> Q_1</math> i <math> Q_2</math> określone odpowiednio na <math> V_1</math> i <math> V_2</math> nazywa się ''równoważnymi'', jeżeli istnieje taki [[izomorfizm liniowy|izomorfizm (liniowy)]] <math> \mathrm C\colon V_1 \to V_2,</math> który spełniałby <math> Q_2(\mathrm C\mathbf x) = Q_1(\mathbf x).</math></ref> sumie <math>n</math> kwadratów, a co za tym idzie: są równoważne<ref group="uwaga" name="equiv" />; podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie. Własności te (w przeciwieństwie do przedstawienia w postaci sumy kwadratów) nie zależą od wyboru współrzędnych. Oznacza to, że wszystkie [[wektory i wartości własne|wartości własne]] dodatnio określonej formy są dodatnie.

Dlatego też formy/macierze dodatnio określone są [[wyznacznik|nieosobliwe]], tzn. mają niezerowy wyznacznik (będący iloczynem wszystkich wartości własnych), a zatem [[macierz odwrotna|odwracalne]]; ponadto forma/macierz odwrotna do niej również jest dodatnio określona<ref group="uwaga">Zgodnie z [[twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)|twierdzeniem Cauchy’ego]] wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością macierzy wyjściowej, odwrotność dodatniej liczby również jest dodatnia.</ref> (to samo dotyczy ''[[mutatis mutandis]]'' macierzy ujemnie określonych). Suma form/macierzy dodatnio określonych także jest dodatnio określona<ref group="uwaga">Jeśli <math> A</math> oraz <math> B</math> są dodatnio określone, <math> A(\mathbf x) > 0</math> oraz <math> B(\mathbf x) > 0</math> dla <math> \mathbf x \ne \mathbf 0,</math> to <math> A + B</math> również jest dodatnio określona, ponieważ <math> (A + B)(\mathbf x) = A(\mathbf x) + B(\mathbf x) > 0</math> dla <math> \mathbf x \ne \mathbf 0.</math></ref>.

Symetryczna<ref group="uwaga" name="complex">Ogólniej: [[macierz hermitowska|hermitowska]], wtedy transpozycję we wzorze należy zastąpić [[sprzężenieSprzężenie hermitowskie macierzy|sprzężeniem hermitowskim]].</ref> macierz dodatnio określona <math>\mathbf A</math> ma [[rozkład Choleskiego]], tzn. istnieje macierz odwracalna <math>\mathbf L,</math> dla której <math>\mathbf A = \mathbf{LL}^\mathrm T</math> (wspomniane warunki są tak [[warunek konieczny|konieczne]], jak i [[warunekWarunek dostatecznywystarczający|dostateczne]])

Dla dowolnej nieosobliwej/odwracalnej macierzy rzeczywistej <math>\mathbf A</math> iloczyny <math>\mathbf A^\mathrm T \mathbf A</math> oraz <math>\mathbf{AA}^\mathrm T</math> są dodatnio określone<ref group="uwaga">Dla niezerowej macierzy kolumnowej <math> \mathbf X</math> zachodzi <math> \mathbf X^\mathrm T(\mathbf A^\mathrm T \mathbf A)\mathbf X = (\mathbf{AX})^\mathrm T \mathbf{AX},</math> równe po współrzędnych <math> \mathbf{AX} \cdot \mathbf{AX} = \|\mathbf{AX}\|^2,</math> skąd [[norma macierzowa]] <math> \|\mathbf{AX}\| > 0</math> (norma Frobeniusa indukowana ze [[iloczyn skalarny|standardowego iloczynu skalarnego macierzy]]) musi być nieujemna, ponieważ nieosobliwość/odwracalność macierzy <math> \mathbf A</math> jest równoważna <math> \mathbf{AX} \ne \mathbf \Theta</math> (gdyż <math> \mathbf X \ne \mathbf \Theta;</math> norma mogłaby się zerować, tylko gdy <math> \mathbf{AX} = \mathbf \Theta</math>). Podobnie <math> \mathbf X^\mathrm T(\mathbf{AA}^\mathrm T)\mathbf X = (\mathbf A^\mathbf T \mathbf X)^\mathrm T \mathbf A^\mathbf T \mathbf X,</math> równe po współrzędnych <math> (\mathbf A^\mathbf T \mathbf X) \cdot (\mathbf A^\mathbf T \mathbf X) = \|\mathbf A^\mathbf T \mathbf X\|^2,</math> oznacza <math> \|\mathbf A^\mathbf T \mathbf X\| > 0</math> z tym samym uzasadnieniem końcowym.</ref>. W szczególności wynika stąd, że dodatnio określona jest forma/[[macierz jednostkowa]]<ref group="uwaga">Ze względu na równości <math> \mathbf I = \mathbf I^\mathrm T \mathbf I = \mathbf{II}^\mathrm T.</math></ref>; ponieważ wszystkie wartości własne formy/[[macierz zerowa|macierzy zerowej]] są równe zeru, to jest ona jednocześnie określona nieujemnie i niedodatnio – jest to jedyna forma/macierz o tej własności.