Wikipedia

Określoność formy: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m formy symetryzacji o uwagę Dodano
Znaczniki: VisualEditor Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej)
→‎Przykłady: Ujednolicono symbolikę. Objaśniono ściślej przykłady.
Linia 32:
 
== Formy zdegenerowane / niezdegenerowane ==
'''Df. 1''' Formę nazywamy '''zdegenerowaną''', jeżeli jest równa zero dla wszystkich wartości <math>\bold x </math>.
Formy nazywamy '''zdegenerowanymi''' / niezdegenerowanymi, jeżeli [[Wyznacznik|wyznacznik macierzy]] formy jest równy zeru / różny od zera.▼
 
'''Df. 2''' Formę nazywamy '''niezdegenerowaną''', jeżeli istnieje choć jedna wartość <math>\bold x </math>, dla której forma jest różna od zera.
 
▲Formy nazywamy '''zdegenerowanymiTw. 1''' Forma jest zdegenerowana / niezdegenerowanyminiezdegenerowana, jeżeli [[Wyznacznik|wyznacznik macierzy]] formy jest równy zeru / różny od zera.
 
== Formy dwuliniowe ==
'''Tw. 12''' Każdej formie kwadratowej <math>Q(x)</math> odpowiadają wzajemnie jednoznacznie [[Forma dwuliniowa|'''symetryczna''' forma dwuliniowa]] <math>B(x,x)</math> określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki
: <math>Q(x) = B(x,x),</math>
: <math>B(x,y) = B(y,x) = \tfrac{1}{2} (Q(x + y) - Q(x) - Q(y)).</math>
 
'''Df. 3''' Formę symetryczną dwuliniową nazywa się określoną, nieokreśloną, półokreśloną itd. odpowiednio do odpowiadającej jej formy kwadratowej.
 
'''Tw. 23''' Jeżeli '''forma kwadratowa''' <math>Q</math> jest zadana za pomocą symetrycznej formy dwuliniowej <math>B(\mathbf x, \mathbf y)</math> wzorem
:: <math>Q(\mathbf x) = B(\mathbf x, \mathbf x),</math>
 
to macierze tych form są równe.
 
Wynika stąd, że ma sens mówienie nie tylko o określoności (lub jej braku) macierzy form kwadratowych, ale i o określoności dowolnych form dwuliniowych symetrycznych.
 
Każda macierz kwadratowa może więc być macierzą pewnej formy kwadratowej bądź dwuliniowej symetrycznej.
 
== Przykłady ==
Poniższe przykłady pokazują, że '''znaki elementów macierzy nie mają związku z określonością macierzy.'''
 
'''Przykład 1.''' Macierz rzeczywista, symetryczna, '''dodatnio określona'''
:: <math>\mathbf P = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}</math>
: '''Dowód:''' Dla dowolnej macierzy kolumnowej <math>X = \begin{bmatrix} ax &\\ by &\\ cz \end{bmatrix}^\mathrm T</math> jest
:::<math>\mathbf X\,\mathbf P\,\mathbf X^T
:: <math>\begin{align} \mathbf X^\mathrm T\mathbf{PX} & = \begin{bmatrix} 2a - b & -a + 2b - c & -b + 2c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}^\mathrm T \\ & = \begin{bmatrix} 2a^2 - ab - ab + 2b^2 - bc - bc + 2c^2 \end{bmatrix} \end{align}</math>
=
: Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa <math>P</math> ma wzór▼
\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}
:: <math>P(\mathbf x) = 2a^2 - 2ab + 2b^2 - 2bc + 2c^2 = a^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + c^2,</math>▼
\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}
: gdzie <math>\mathbf x = (a, b, c),</math> a więc dana jest jako suma kwadratów (która jest nieujemna) i jest niezdegenerowana (zeruje się tylko, gdy <math>\mathbf x = \mathbf 0</math>).▼
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}</math><math>=
\begin{bmatrix} 2x - y & -x + 2y - z & -y + 2z \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}</math><math>=
▲:\begin{matrix} 2x^2 - xy - xy + 2y^2 - yz - yz + 2z^2 \end{matrix}</math> Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa <math>P</math> ma wzór
▲:: <math>P(\mathbf x) = 2a2x^2 - 2ab2xy + 2b2y^2 - 2bc2yz + 2c2z^2 = ax^2 + (ax-by)^2 + (by-cz)^2 + cz^2,</math>
▲: gdzie <math>\mathbf x = (ax, by, cz)</math>. Widać stąd, że forma <math>P(\mathbf x)</math>jest anieujemna, więcgdyż dana jest jako suma kwadratów, (któraa ta nie jest nieujemna)nigdy imniejsza od zera. Ponadto forma ta jest niezdegenerowana, gdyż (zeruje się tylko, gdy <math>\mathbf x = \mathbf 0</math>. Forma <math>P(\mathbf x)</math>jest więc dodatni określona, cnd.
 
'''Przykład 2.''' Macierz rzeczywista, symetryczna, '''określona nieujemnieniedodatnio'''
:: <math>\mathbf N = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}</math>
: '''Dowód:''' OdpowiadającaWykonując obliczenia jak w Przykładzie 1 łatwo przekonać się, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa <math>N</math> ma postać
:: <math>N(\mathbf x) = -ax^2 - 2ab2xy + 2ac2xz - 2b2y^2 - 2c2z^2 = -(ax + by - cz)^2 - (by + cz)^2,</math>
: gdzie <math>\mathbf x = (ax, by, cz),</math>. aZ sumapostaci weformy widać, wzorzeże jest niedodatnia: i przyjmuje zero wyłącznie dla <math>\mathbf x = (-2t, t, -t),</math> gdzie <math>t \in \mathbb R.</math>Dlatego forma <math>N(\mathbf x)</math>jest niedodatnio określona, cnd.
 
'''Przykład 3.''' Macierz rzeczywista, symetryczna, '''nieokreślona'''
:: <math>\mathbf Q = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
:'''Dowód:''' – możnaMożna sprawdzić to bezpośrednim rachunkiem, że macierzy dla<math>\mathbf odpowiadającejQ jej</math>odpowiada formyforma kwadratowejkwadratowa
:: <math>Q(\mathbf x) = ax^2 - 2b2y^2 + cz^2 + 6ab6xy - 4ac4xz,</math>
: gdzie <math>\mathbf x = (ax, by, cz),</math> mianowicie:
:Forma ta jest nieokreślona, gdyż
:* jeśli <math>\mathbf x = (0, 1, 1),</math> to <math>Q(\mathbf x) = -5,</math>▼
:* przyjmuje wartości zarówno dodatnie jak i ujemne, np.:
:* jeśli <math>\mathbf x = (2, 1, 0),</math> to <math>Q(\mathbf x) = 14,</math>▼
:*# ponadto dlajeśli <math>\mathbf x \ne= \mathbf(0, 1, 01),</math> jestto <math>Q(\mathbf x) \ne= 0-5,</math> czyli forma jest niezdegenerowana.
▲:*# jeśli <math>\mathbf x = (02, 1, 10),</math> to <math>Q(\mathbf x) = -514,</math>
▲:* jeślijest niezdegenerowana, tj. dla wszystkich <math>\mathbf x =\ne (2, 1,\mathbf 0),</math> tojest <math>Q(\mathbf x) =\ne 14,0</math>.
 
== Twierdzenia ==
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Określoność_formy”