|
'''Symetria osiowa (symetria względem osi)''' -– [[Przekształcenie geometryczne|odwzorowanie geometryczne]] [[płaszczyzna|płaszczyzny]] lub [[Przestrzeń (matematyka)|przestrzeni]], które dla ustalonej osi, tj. [[prosta|prostej]] ''l'', każdemu punktowi ''P'' [[Przekształcenie geometryczne|swojej dziedziny]] przyporządkowuje taki punkt ''<math>Q''</math>, że punkty ''<math>P''</math> i ''<math>Q''</math> wyznaczają prostą przecinającą [[Prostopadłość|prostopadle]] oś ''l'' i leżą w równej odległości od osi <math>l</math>''l'' po jej przeciwnych stronach. Symetrię względem osi <math>l</math> oznacza się najczęściej jako <math>S_l</math>.
Z definicji bezpośrednio wynika, że [[Przekształcenie geometryczne|punktami stałymi]] symetrii osiowej ''S<submath>lS_l</submath>'' są wszystkie punkty prostej ''l'' i tylko one. Dowolna symetria osiowa jest [[inwolucja (matematyka)|inwolucją]], tzn. jest identyczna z odwzorowaniem do niej odwrotnym.
Fakt, że punkt ''<math>Q''</math> jest obrazem punktu ''<math>P''</math>, można też zapisać korzystając z pojęcia wektora: <math>\vec{PR}\,=\,\vec{RQ}</math> gdzie punkt ''R'' jest [[rzut prostokątny|rzutem prostokątnym]] punktu ''<math>P''</math> na prostą ''<math>l''</math>.
Symetrię względem osi ''l'' oznacza się najczęściej jako ''S<sub>l</sub>''.
[[Plik:Reflection symmetry.svg|thumb|200px|Obraz figury ''F'' w symetrii osiowej ''S'' względem prostej ''p'':<br />''F<sub>1</sub> = S<sub>p</sub>(F)'']]
Figurę geometryczną ''<math>F ''</math>, która jest swoim obrazem w symetrii osiowej ''S< submath> l</sub>'' S_l( ''S<sub>l</sub>S_l(F) = F '') </math>, nazywa się figurą geometryczną [[Symetria (przekształcenie)|osiowo symetryczną]] (lub mówi się, że figura <math>F </math> ma oś symetrii). Prosta ''<math>l ''</math> jest osią symetrii figury ''<math>F ''</math>. ▼Dowolna symetria osiowa jest [[inwolucja (matematyka)|inwolucją]], tzn. jest identyczna z odwzorowaniem do niej odwrotnym.
▲Figurę geometryczną ''F'', która jest swoim obrazem w symetrii osiowej ''S<sub>l</sub>'' (''S<sub>l</sub>(F) = F''), nazywa się figurą geometryczną [[Symetria (przekształcenie)|osiowo symetryczną]] (lub mówi się, że figura F ma oś symetrii). Prosta ''l'' jest osią symetrii figury ''F''.
== Symetria osiowa na płaszczyźnie ==
Każda symetria osiowa na płaszczyźnie jest [[izometria|izometrią nieparzystą]], ponieważ zmienia orientację płaszczyzny. Symetria osiowa jest jedyną nietożsamościową izometrią płaszczyzny mającą dwa różne punkty stałe. Dla dowolnej izometrii płaszczyzny istnieją jedna, dwie lub trzy symetrie osiowe, z których można złożyć tę izometrię.
Dla dowolnej izometrii płaszczyzny istnieją jedna, dwie lub trzy symetrie osiowe, z których można złożyć tę izometrię.
== Symetria osiowa w przestrzeni ==
Symetria osiowa ''S<submath>lS_l</submath>'' w przestrzeni jest złożeniem dwóch dowolnych [[symetria płaszczyznowa|symetrii płaszczyznowych]] ''S<submath>PS_p</submath>'' i ''S<submath>QS_Q</submath>'' takich, że płaszczyzny ''<math>P''</math> i ''<math>Q''</math> są prostopadłe i ''<math>P ∩\cap Q = l</math>''.
== Zobacz też ==
| 