Równanie transportu: Różnice pomiędzy wersjami

: <math>u_t + \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i} = 0,</math>

gdzie <math> b_i \in \mathbb{R} ,</math>, a [[funkcja]] <math> u : \mathbb{R}^n \times [0, \infty] \to \mathbb{R}</math> jest niewiadomą.

Przy założeniu, że dysponujemy [[funkcja regularna|gładkim]] rozwiązaniem <math> u </math> oraz po podzieleniu lewej strony (1) przez <math> 1 + \sum_{i=1}^n b_i </math> stwierdzamy, że równanie to orzeka, że pewna [[pochodna kierunkowa]] funkcji <math>u</math> jest równa zeru.

Niech <math> b = (b_1 , b_2 , ... , b_n) \in \mathbb{R}^n </math> będzie [[Przestrzeń liniowa|wektorem]]. Ustalmy zatem dowolny punkt <math> (x_0 , t_0) \in \mathbb{R}^n \times (0, \infty) </math> i połóżmy:

: <math> z(s) = u(x_0 +sb sb, t_0 + s)</math>

: <math> \frac{dz}{ds} = \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i}(x_0 + sb, t_0 + s) + u_t(x_0 + sb, t_0 + s) =0 0</math>

na mocy (1). Funkcja <math>z</math> zmiennej <math>s</math> jest więc stała, co oznacza, że dla każdego punktu <math>(x_0, t_0)</math> funkcja <math>u</math> przyjmuje te same wartości na całej prostej przechodzącej przez ten punkt oraz równoległej do wektora <math>(b_1, b_2, ... , b_n, 1) \in \mathbb{R}^{n+1} .</math>. Wartości szukanej funkcji w całej dziedzinie są zatem znane, jeżeli znane są wartości w jakichkolwiek punktach na każdej z takich prostych.

: <math>u_t + \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i} = 0</math> przy <math>u=g</math> na <math> \mathbb{R}^n \times \{t=0\} </math>

każda z omawianych wcześniej prostych postaci <math> (x_0 +sb,t_0 +s)</math> przecina płaszczyznę <math> \gamma = \mathbb{R}^n \times \{t=0\} </math> dla <math> s= -t_0 </math> w punkcie <math> (x_0 - t_0b, 0).</math>. Ponieważ funkcja <math> u </math> jest na tych prostych stała oraz <math> u(x_0 - t_0b , 0) = g(x_0 - t_0b) </math> to wnioskujemy:

<math> u(x_1,...,x_n,t) = u(x,t) = g(x - tb)</math> przy <math> x \in \mathbb{R}^n, t \geqslant 0</math> i jest to słabe rozwiązanie zagadnienia (2).

Dla zagadnienia (3) <math>u_t + \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i} = f</math> przy <math>u=g</math> i tych samych oznaczeniach jak wyżej, kładziemy <math> z(s) ,</math> uzyskując:

: <math> \frac{dz}{ds} = \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i}(x_0 + sb, t_0 + s) + u_t(x_0 + sb, t_0 + s) = f(x_0 + sb, t_0 +s) </math>

: <math> u(x_0, t_0) - g(x_0 - bt_0) = z(0) - z(-t_0) =

\int\limits_{-t_0}^{0} \frac{dz}{ds}\, ds = \int\limits_{-t_0}^{0} f(x_0 + sb, t_0 + s)\, ds ,</math>

zatem <math> u(x,t) = g(x - tb) + \int\limits_{-t_0}^{0} f(x_0 + sb, t_0 + s)\, ds</math> przy <math> x \in \mathbb{R}^n, t \geqslant 0</math> jest rozwiązaniem równania (3).