Określoność formy: Różnice pomiędzy wersjami

* Jeżeli forma przyjmuje dla jednych punktów <math>\bold x</math> wartości dodatnie, a dla innych ujemne, to nazywa się ją '''nieokreśloną'''.

'''(1)''' Formie kwadratowej <math>Q\,</math>(i zapisanej w postaci symetrycznej -– patrz niżej) zdefiniowanej na przestrzeni ''n''-wymiarowej można przypisać [[macierz]] w następujący sposób

: <math>Q(\mathbf x)\equiv Q(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}{x_i}{x_j}

gdzie <math>\bold x=[x_1, \dots,x_n] </math> jest dowolnym wektorem o <math>n</math> współrzędnych <math>x_1,\dots,x_n,</math> takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny <math>^\mathrm T</math> oznacza [[Transpozycja (matematyka)|transpozycję]]; <math>A=[a_{ij}]</math> oznacza [[Macierz symetryczna|macierz symetryczną]] <math>n\times n.</math>

'''Uwaga:''' Zakłada się, że forma ma postać symetryczną, tj. <math>a_{ij}=a_{ji} .</math>. Jeżeli by tak nie było, to łatwo nadać formie postać symetryczną zastępując współczynniki formy <math>a_{ij}, a_{ji}</math> przez ich średnie arytmetyczne, tj. przyjmując

: <math>a'_{ij}=a'_{ji}=(a_{ij}+a_{ji})/2</math>

* '''diagonalna''', gdy forma zawiera wyłącznie wyrazy z kwadratami zmiennych

* '''ma wyrazy pozadiagonalne''', gdy forma zawiera składniki z iloczynami dwóch różnych zmiennych.

'''Df. 1''' Formę nazywamy '''zdegenerowaną''', jeżeli jest równa zero dla wszystkich wartości <math>\bold x .</math>.

'''Df. 2''' Formę nazywamy '''niezdegenerowaną''', jeżeli istnieje choć jedna wartość <math>\bold x ,</math>, dla której forma jest różna od zera.

:: <math>\mathbf Q = \begin{bmatrix}

q_{11} & q_{12} & q_{13} \\

q_{21} & q_{22} & q_{23} \\

:: <math>\begin{vmatrix}

q_{11} & q_{12} & q_{13} \\

q_{21} & q_{22} & q_{23} \\

>0,</math>, <math>\begin{vmatrix}

q_{11} & q_{12} \\

q_{21} & q_{22}

>0,</math>, <math>q_{11}

::: <math>\mathbf X\,\mathbf P\,\mathbf X^T

::: <math>=

\begin{bmatrix} 2x - y & -x + 2y - z & -y + 2z \end{bmatrix}

::: <math>=

\begin{matrix} 2x^2 - xy - xy + 2y^2 - yz - yz + 2z^2 \end{matrix}</math>

Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa <math>P</math> ma wzór

:: <math>P(\mathbf x) = 2x^2 - 2xy + 2y^2 - 2yz + 2z^2 = x^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + z^2,</math>

gdzie <math>\mathbf x = (x, y, z).</math>. Widać stąd, że forma <math>P(\mathbf x)\,</math> jest nieujemna, gdyż dana jest jako suma kwadratów, a ta nie jest nigdy mniejsza od zera. Ponadto forma ta jest niezdegenerowana, gdyż zeruje się tylko, gdy <math>\mathbf x = \mathbf 0.</math>. Forma <math>P(\mathbf x)</math> jest więc dodatni określona, cnd.

Uwaga:

:: <math>N(\mathbf x) = -x^2 - 2xy + 2xz - 2y^2 - 2z^2 = -(x + y - z)^2 - (y + z)^2,</math>

: gdzie <math>\mathbf x = (x, y, z).</math>. Z postaci formy widać, że jest niedodatnia i przyjmuje zero wyłącznie dla <math>\mathbf x = (-2t, t, -t),</math> gdzie <math>t \in \mathbb R.</math> Dlatego forma <math>N(\mathbf x)</math> jest niedodatnio określona, cnd.

: '''Dowód:''' Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że macierzy <math>\mathbf Q\, </math> odpowiada forma kwadratowa

:: <math>Q(\mathbf x) = x^2 - 2y^2 + z^2 + 6xy - 4xz,</math>

: gdzie <math>\mathbf x = (x, y, z),</math>

: Forma ta jest nieokreślona, gdyż

:* przyjmuje wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, np.:

:* jest niezdegenerowana, tj. dla wszystkich <math>\mathbf x \ne \mathbf 0</math> jest <math>Q(\mathbf x) \ne 0.</math>.

'''Przykład 4.''' [[Macierz jednostkowa]] w przestrzeni rzeczywistej lub zespolonej -– jest '''dodatnio''' '''określona'''

(1) Macierz jednostkowa <math>I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math> jest określona dodatnio. Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni rzeczywistej, to dla dowolnych wektorów mamy

:: <math> X^\textsf{T}IX = \begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}= x^2 + y^2</math>

'''(1)''' Wszystkie ''formy dodatnio / ujemnie określone'' na tej samej przestrzeni wymiaru <math>n</math> są równoważne formie kwadratowej diagonalnej, składającej się z sumy <math>n\,</math> kwadratów<ref name="equiv" group="uwaga">Formy kwadratowe <math>Q_1</math> i <math>Q_2</math> określone odpowiednio na <math>V_1</math> i <math>V_2</math> nazywa się ''równoważnymi'', jeżeli istnieje taki [[Izomorfizm liniowy|izomorfizm (liniowy)]] <math>\mathrm C\colon V_1 \to V_2,</math> który spełniałby <math>Q_2(\mathrm C\mathbf x) = Q_1(\mathbf x).</math></ref>.