|
'''Twierdzenie Wilsona''' – twierdzenie w [[teoria liczb|teorii liczb]]. Mówi ono, że liczba ''<math>p'' > 1</math> jest [[Liczba pierwsza|liczbą pierwszą]] wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
: <math>(p-1)! + 1\;</math>
jest podzielna przez ''<math>p''</math><ref>Prof. dr hab. [[Włodzimierz Waliszewski]] i in., ''Encyklopedia szkolna. Matematyka'', Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, {{ISBN|83-02-02551-8}}, '''s. 295, (twierdzenie Wilsona''').</ref><ref>[[Wacław Marzantowicz]], Piotr Zarzycki, ''Elementarna teoria liczb'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, s. 35.</ref>.
Twierdzenie zostało odkryte przez [[John Wilson (matematyk)|Johna Wilsona]], będącego studentem [[Edward Waring|Edwarda Waringa]]. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w [[1773]] roku [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] dał przekonujący dowód. Istnieją również argumenty mówiące, że to [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu).
== Dowód ==
Najpierw załóżmy, że ''<math>p''</math> jest liczbą pierwszą. Twierdzenie zachodzi dla ''<math>p''=2</math> oraz ''<math>p''=3.</math> Więc dodatkowo załóżmy, że <math>p > 3.</math> Klasy liczb całkowitych mod <math>p</math> tworzą [[ciało (matematyka)|ciało]] <math>\mathbb{Z}_p.</math> Rozpatrzmy w nim równanie:
: <math> (x ^2 -= 1 )\cdot(x+1) = 0\,.</math> ▼Więc dodatkowo załóżmy, że ''p'' > 3. Klasy liczb całkowitych mod ''p'' tworzą
[[ciało (matematyka)|ciało]] <math>\mathbb{Z}_p</math>. Rozpatrzmy w nim równanie:
:Ma ono te same rozwiązania co równanie <math>x^2 =- 1\ = 0,</math> czyli
Ma ono te same rozwiązania co równanie: <math>(x^2 - 1)\cdot(x+1) = 0\,.</math>, czyli
▲:<math>(x - 1)\cdot(x+1) = 0\,</math>
W ciele iloczyn niezerowych czynników jest niezerowy. Więc jedynymi rozwiązaniami powyższego równania są ''<math>x''=1</math> oraz ''<math>x''=-1</math> (Ww ciele <math>\mathbb{Z}_p,</math>, dla ''<math>p''</math> różnego od 2, zachodzi nierówność <math>-1 ≠\ne 1</math>). Wynika stąd, że jedynymi elementami ciała <math>\mathbb{Z}_p,</math>, które są odwrotne do siebie, są 1 i -1–1. Zatem zbiór pozostałych niezerowych elementów ciała rozpada się na rozłączne pary elementów <math>\{''x'', ''y''\}</math> o iloczynie ''<math>x''\cdot ·''y'' = 1,</math> gdzie ''<math>x'' ≠\ne ''y''.</math> Stąd wnioskujemy iż iloczyn wszystkich, poza 1 oraz -1–1, niezerowych elementów ciała, jako iloczyn iloczynów takich par, wynosi 1, co oznacza, że:
: <math>2\cdot ... \cdot (p-2) \equiv 1 \mod p.</math>.
Po przemnożeniu powyższej kongruencji przez ''<math>p''-1,</math> czyli przez <math>-1</math> (co jest tym samym mod ''<math>p''</math>), oraz po dopisaniu nieszkodliwego 1 po lewej, otrzymujemy:
:<math>1\cdot ... \cdot(p-1) \equiv -1 \mod p</math>, ▼czyli: <math>1\cdot ... \cdot(p-1)! +\equiv -1 \;</math>mod jest podzielna przez <math>p,</math>.
i liczbaczyli <math>(p-1)! + 1 \;</math> nie jest podzielna przez <math>p .</math> .▼Wykażemy teraz [[twierdzenie przeciwne]] i w tym celu przypuśćmy że ''p'' jest [[Liczba złożona|złożoną]] liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe ''a'' oraz ''b'' liczby ''p'', że ''a''·''b'' = ''p''. Wtedy <math> a\ |\ (p-1)!\,</math>. Zatem ▼
:<math> a\cdot b\ |\ (p-1)!\cdot b</math> ▼▲Wykażemy teraz [[twierdzenie przeciwne]] i w tym celu przypuśćmy , że ''<math>p ''</math> jest [[Liczba złożona|złożoną]] liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe ''<math>a ''</math> oraz ''<math>b ''</math> liczby ''<math>p '', </math> że ''<math>a ''·''\cdot b '' = ''p ''. </math> Wtedy <math> a\ |\ (p-1)! \,.</math> . Zatem
▲: <math> 1a\cdot ...b\ |\ cdot (p-1) !\ equivcdot -1 \mod pb</math> ,
i stąd (pamiętając, że <math>p=a\cdot b</math>)
: <math>(p-1)!\cdot b \equiv\; 0\mod p,</math>,
więc
:<math>(p-1)!\cdot b\not\equiv (-1)\cdot b\mod p</math>. ▼▲: <math> a(p-1)!\cdot b\ |not\ equiv ( p-1) !\cdot b \mod p.</math>
Tak więc
: <math> (p-1)!\ \not\equiv\ -1 \mod p\,</math>
▲i liczba <math>(p-1)! + 1\;</math> nie jest podzielna przez <math>p</math>.
i liczba <math>(p-1)! + 1</math> nie jest podzielna przez <math>p.</math>
== Uogólnienie ==
Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona, autorstwa [[Carl Friedrich Gauss|Gaussa]]:
: <math>\prod_{a=1\atop \operatorname{NWD}(a,m)=1}^m \!\!a \ \equiv \ \left \{ \begin{matrix} -1\ (\ mboxtext{mod }m) & \ mboxtext{gdy } m=4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\ \ \ 1\ (\ mboxtext{mod }m) & \ mboxtext{w innych wypadkach} \end{matrix} \right. ,</math> ▼
gdzie ''<math>p ''</math> jest liczbą pierwszą większą od 2. ▼
Dla ''<math>m '' = 2 </math> zachodzi ▼▲:<math>\prod_{a=1\atop \operatorname{NWD}(a,m)=1}^m \!\!a \ \equiv \ \left \{ \begin{matrix} -1\ (\mbox{mod }m) & \mbox{gdy } m=4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\ \ \ 1\ (\mbox{mod }m) & \mbox{w innych wypadkach} \end{matrix} \right. </math>
▲: <math> (p-1 )!\cdot b\not\equiv (-1 )\cdot b(\ text{mod p}2),</math> .
▲gdzie ''p'' jest liczbą pierwszą większą od 2.
więc równie dobrze można dodać '<math>m '' = 2 </math> do drugiej gałęzi wzoru. ▼:<math>-1\equiv 1 (\mbox{mod }2),</math>
▲więc równie dobrze można dodać 'm'' = 2 do drugiej gałęzi wzoru.
== Przypisy ==
| 