Wielomiany Czebyszewa: Różnice pomiędzy wersjami

: <math>T_0(x)=1 \,</math>

: <math>T_1(x)=x \,</math>

Rozwiązaniem powyższej [[rekurencja|rekurencji]] jest :

: <math>T_k(x) = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^k + (x-\sqrt{x^2-1})^k}{2}.</math>

Z definicji wynika, że dla ''k'' parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego ''k'' -– nieparzysty:

: <math>T_k(-x)=(-1)^kT_k(x) \,.</math>

Dla <math>x\in [-1;1]</math> podstawiając za <math> x =\cos\,t,</math>, dla <math>k=0,1,2,\cdotsdots</math>

: <math>T_k(\cos\,t ) = \frac{(\cos\,t +\sqrt{\cos^2\,t-1})^k + (\cos\,t-\sqrt{\cos^2-1})^k}{2} =</math>

: <math>T_k(\cos\,t ) = \frac{(\cos\,t +\sqrt{-\sin^2\,t})^k + (\cos\,t-\sqrt{-\sin^2\,t})^k}{2} =</math>

: <math>T_k(\cos\,t ) = \frac{(\cos\,t + i\cdot \sin\,t)^k + (\cos\,t- i\cdot \sin\,t)^k}{2}</math>

gdzie <math>i^2= -1.</math>

Po zastosowaniu wzoru [[Wzór de Moivre'aMoivre’a|de Moivre'aMoivre’a]] na ''k''-tą'' potęgę [[liczby zespolone]]j otrzymuje się:

: <math>\! T_k(\cos\,t ) = \cos kt.</math>

Wracając do zmiennej <math> x </math>: <math>\! t = \arccos x</math>

: <math>\! T_k(x)=\cos(k\cdot \arccos(x)).</math> (*)

: <math>T_k(x) = \begin{cases}

\cos(k\arccos x), & \,x \in [-1,1] \\

\cosh(k \, \mathrm{arcosh}(x)), & \,x \geqslant 1 \\

(-1)^k \cosh(k \, \mathrm{arcosh}(-x)), & \,x \leqslant -1 \\

Można wykazać, że

: <math>\cos(k\cdot t)=\frac{e^{i k \cdot t}+e^{-i k \cdot t}}{2}=\frac{(e^{i \cdot t})^k+(e^{i \cdot t})^{-k}}{2},</math>

: <math>\! e^{i \cdot t}=\cos(t)+i \sin(t)</math>

: <math>e^{i \cdot t}=\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1},</math>

: <math>T_k(x)=\frac{(x+ \sqrt{x^2-1})^k+(x+ \sqrt{x^2-1})^{-k}}{2}.</math>

Wielomian Czebyszewa <math>T_k(x)</math> posiada ''k'' zer rzeczywistych należących do ''[-1;1]'' danych wzorem:

: <math>j=1,2,\cdots dots, k.</math>

: <math> \langle T_k,T_j\rangle = \int\limits_{-1} ^{1} \frac{T_k(x) \cdot T_j(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int\limits_{-1} ^{1} \frac{\cos( k \cdot \arccos(x)) \cdot \cos( j \cdot \arccos(x))}{\sqrt{1-x^2}} dx .</math>

Zastosujmy [[Całkowanie przez podstawienie|podstawienie]] <math> t = \arccos(x) \,.</math>. Mamy wówczas <math> \frac{dt}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> oraz <math> x = \cos(t) \,.</math>. Stosując we wcześniejszym wzorze:

: <math> \langle T_k,T_j\rangle = - \int\limits_{ \pi } ^{0} \frac{ \cos(k \cdot t) \cdot \cos(j \cdot t) }{\sqrt{1-cos^2(t)}} \sqrt{1-cos^2(t)} dt = \int\limits_{0} limits_0^{\pi} \cos(k \cdot t) \cdot \cos(j \cdot t) dt.</math>

Korzystając ze [[Tożsamości trygonometryczne|wzoru trygonometrycznego]] <math> \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} [cos (\alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)]</math> dostajemy

: <math> \langle T_k,T_j\rangle = \int\limits_{0} limits_0^{ \pi } \frac{1}{2} [cos((k-j)t) + \cos((k+j)t)] dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0} limits_0^{ \pi } \cos((k-j)t) dt + \frac{1}{2} \int\limits_{0} limits_0^{ \pi } \cos((k+j)t) dt .</math>

Załóżmy w tym momencie, że <math> k \neq j </math> i rozpatrzmy obie [[Całka|całki]] osobno.

: <math> \int\limits_{0} limits_0^{ \pi } \cos((k-j)t) dt = \frac{1}{k-j} \int\limits_{0} limits_0^{(k-j) \pi} \cos(t) dt = \frac{1}{k-j} [ \sin(t) ] ^{(k-j) \pi} _{0}_0 = 0.</math>

: <math> \int\limits_{0} limits_0^{ \pi } \cos((k+j)t) dt = \frac{1}{k+j} \int\limits_{0} limits_0^{(k+j) \pi} \cos(t) dt = \frac{1}{k+j} [ \sin(t) ] ^{(k+j) \pi} _{0}_0 = 0.</math>

: <math>\langle T_k,T_j\rangle=0.</math>

Widać, że założenie, iż <math> k \neq j </math> jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w [[Mianownik (matematyka)Ułamek|mianowniku]].

Powyższe rówananiarównania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie [[Ortogonalność|prostopadłe]].

\langle T_k, T_k\rangle &= \frac{1}{2} \int\limits_{0} limits_0^{ \pi } [cos((k-k)t) + \cos((k+k)t)] dt \\

&= \frac{1}{2} \int\limits_{0} limits_0^{ \pi } [1 + \cos(2kt)] dt \\

&= \frac{\pi}{2} + \int\limits_{0} limits_0^{\pi} \cos(2kt) dt \\

&= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2k} \int\limits_{0} limits_0^{2k \pi} \cos(t) dt \\

W przypadku <math>k = j = 0 \,</math> dostajemy <math> \langle T_0, T_0\rangle = \pi </math> co kończy dowód.

[[Plik:Chebyshev.png|frame|<font color=#333333>T₀</font>

<font color=red>T₁</font>,

<font color=#0000b3>T₂</font>

: <math> T_0(x) = 1 \,</math>

: <font color=red><math> T_1(x) = x \,</math></font>

: <math> T_2(x) = 2x^2 - 1 \,</math>

: <math> T_3(x) = 4x^3 - 3x \,</math>

: <math> T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,</math>

: <math> T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,</math>

: <math> T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,</math>

: <math> T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,</math>

: <math> T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,</math>

: <math> T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,</math>

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa <math>\frac{1}{2^{k-1}}T_k(x)</math> ma na odcinku <math>[-1;1]</math> najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną) spośród wszystkich wielomianów stopnia ''k''. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

: <math>w_k(x)=x^k + a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0 </math>

: <math> \max_{x\in [-1;1]} |w_k(x)| \geqslant \max_{x\in [-1;1]} |\frac{1}{2^{k-1}}T_k(x)|.</math>

Wiedząc, że dla każdego <math>x\in [-1;1]</math> wielomian <math>T_k(x)</math> przyjmuje wszystkie wartości z <math>[-1;1],</math>, możemy napisać:

: <math> \max_{x\in [-1;1]} |w_k(x)| \geqslant \frac{1}{2^{k-1}}.</math>

Przy [[Interpolacja wielomianowa|interpolacji wielomianowej]] często zamiast równoodległych [[WęzełInterpolacja funkcji(matematyka)|węzłów]], używa się węzłów leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego [[Efekt Rungego|efektu Rungego]], czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

: <math>T_0(x)=1 \,</math>

: <math>T_1(x)=2x \,</math>

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego: <math> \rho (x) = \sqrt{1-x^2}.</math>

* [[wielomiany Hermite'aHermite’a]]

* [[wielomiany Laguerre'aLaguerre’a]]

* [[wielomiany Legendre'aLegendre’a]]