Dwustosunek: Różnice pomiędzy wersjami

 

Ciekawym zastosowaniem dwustosunku jest definicja odległości dwóch punktów w modelu Kleina [[geometria hiperboliczna|geometrii hiperbolicznej]].

Jeśli '''a,b''' są punktami płaszczyzny hiperbolicznej, '''p,q''' są punktami przecięcia '''pr(a,b)''' z horyzontem to:

:<math>\rho(a,b) = |\ln(a,b;p,q)| \,</math>

 

==Dwustosunek pęku prostych==

Jeśli pęk czterech prostych przetniemy dwiema różnymi prostymi (nie przechodzącymi przez środek pęku) to każda z tych dwóch prostych wyznaczy po cztery punkty przecięcia z prostymi pęku. Jedna z tych czwórek punktów tj. '''A’,B’,C’,D’''' jest w oczywisty sposób obrazem pierwszej czwórki '''A,B,C,D''' w pewnej kolineacji środkowej.

Oznacza to, że (A,B;C,D)=(A’B';C’D’). Ponieważ dwustosunek nie zależy od wyboru tych prostych jest on więc stały dla pęku prostych. I można go przyjąć jako definicję dwustosunku pęku czterech prostych:

;;Dwustosunek pęku czterech prostych jest dwustosunkiem odpowiednich czterech punktów otrzymanych z przecięcia tego pęku przez dowolną prostą nieprzechodzącą przez środek pęku.

 

Konfiguracja [[zasada dualności|dualna]] składa się z dwóch pęków prostych '''a,b,c,d''' oraz '''a',b',c',d' ''' i z prostej przecinającej oba pęki w punktach przecięcia się odpowiednich prostych obu pęków.

 

{{-}}

 

Na płaszczyźnie euklidesowej dwustosunek pęku czterech prostych można wyliczyć wprost z następującego wzoru: