Rozmaitość różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
do WD Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 |
m akapity |
||
Linia 1:
{{Integracja|rozmaitość różniczkowa}}
Przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots </math>, nazywamy '''rozmaitością <math>n-\ </math>wymiarową''', jeśli dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}^{n}</math> istnieje otwarte i spójne otoczenie <math>U\ </math>, <math>x\in U \subset \mathbb{X}^{n}</math>, oraz [[homeomorfizm]] <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> tego otoczenia <math>U\ </math> na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej <math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math>. Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}</math> map nazywa się atlasem rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math>, gdy dziedziny <math>U_l\ </math> homeomorfizmów <math>\phi_l\ </math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X}^{n}</math>:▼
{{wzór|<math>\mathbb{X}^{n}=\bigcup_{l \in I}U_l.</math>|1}}
▲Przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots </math>, nazywamy '''rozmaitością <math>n-\ </math>wymiarową''', jeśli dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}^{n}</math> istnieje otwarte i spójne otoczenie <math>U\ </math>, <math>x\in U \subset \mathbb{X}^{n}</math>, oraz [[homeomorfizm]] <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> tego otoczenia <math>U\ </math> na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej
Zbiór wszystkich map rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math> nazywamy ''atlasem zupełnym '' <math>\Phi_0\ </math> rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}\ </math>.
Zawsze będziemy zakładali, że dla <math>l\neq\chi</math> również <math>\phi_l \neq \phi_{\chi}</math>; tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu <math>\Phi_0\ </math>, natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.
Dopuszczenie przypadku <math>n=0\ </math> jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.
Niech <math>a_i\ </math>, <math>i=0,1,\ldots,n,</math> będzie bazą <math>\mathbb{R}^{n}</math>, którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor <math>\kappa\in \mathbb{R}^n</math> można utożsamić z uporządkowanym <math>n-\ </math>elementowym ciągiem <math>(\xi^i)\ </math> jego współrzędnych względem bazy <math>a_i\ </math>. Dla mapy <math>\phi\colon U\to \mathbb{R}^n</math> otrzymujemy w tej bazie następujący opis:
{{wzór|<math>\phi\colon x\in U\to \phi(x)=x^i(x)a_{i}\in \mathbb{R}^n,</math>|2}}
który każdemu punktowi <math>x\in U\ </math> przyporządkowuje uporządkowany ciąg <math>n\ </math> liczb rzeczywistych <math>(x^i(x))\ </math>, czyli tzw. ''współrzędnych punktu <math>x\ </math> względem mapy'' <math>\phi\ </math>.
Rozważmy dwie mapy <math>\phi_l\ </math>, <math>\phi_\chi\ </math> rozmaitości <math>\mathbb{X}^n</math>, dla których przekrój <math>U_l\cap U_\chi\neq\emptyset</math>. Wtedy punktowi <math>x\in U_l\cap U_\chi</math> odpowiadają współrzędne <math>x^i(x)\ </math> w mapie <math>\phi_l\ </math> oraz <math>x^{i'}(x)\ </math> w mapie <math>\phi_\chi\ </math>. Oba te układy współrzędnych na przekroju <math>U_l\cap U_\chi\ </math> wzajemnie wiąże ''przekształcenie współrzędnych'':
Samo <math>\phi_{\chi l}\ </math> jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>.
Przechodząc do współrzędnych <math>\mathbb{R}^n</math> w bazie <math>a_i\ </math>
{{wzór|<math>x^{i'}=x^{i'}(x^i).\ </math>|4}}
Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych <math>\{\phi_{\chi l}\}\ </math>, dla którego zachodzi
{{wzór|<math>\phi_{l \chi}=\phi_{\chi l}^{-1},\qquad U_l \cap U_\chi \neq\emptyset),</math>|5}}
{{wzór|<math>\phi_{\lambda l}=\phi_{\lambda \chi}\circ\phi_{\chi l},\qquad U_\lambda \cap U_\chi \cap U_l \neq\emptyset).</math>|6}}
Niech <math>f\colon\mathbb{X}^n\to\mathbb{R}\ </math> będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości <math>\mathbb{X}^n\ </math>. Każdej mapie <math>\phi_l\ </math> jest przyporządkowane odpowiednie ''przedstawienie'' <math>f_l\ </math> ''funkcji'' <math>f\ </math> w tej mapie
{{wzór|<math>(x^i) \in \phi_l (U_l) \to f_l(x^i)=f \circ \phi_l^{-1}(x^i) \in \mathbb{R}.</math>|7}}
Dla <math>x\in U_l \cap U_\chi\ </math> mamy dwa przedstawienia <math>f_l(x^i)\ </math>, <math>f_\chi(x^{i'})\ </math> funkcji <math>f\ </math> w mapach <math>\phi_l\ </math>, <math>\phi_\chi\ </math>, które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna
{{wzór|<math>f_\chi(x^{i'})=f_l\circ \phi_{l \chi}(x^{i'}),
Zatem, każdej funkcji rzeczywistej <math>f</math> odpowiada rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}\ </math> jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}\ </math> funkcji rzeczywistych <math>n\ </math> zmiennych rzeczywistych <math>(x^i)\in \phi_l(U_l)\ </math>, dla której zachodzi {{LinkWzór|7}}, wtedy przyjmując <math>f(x)=f_l\circ \phi_l(x), x\in U_l\ </math> otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości <math>\mathbb{X}^n\ </math>. Niech <math>x\in U_l \cap U_\chi\ </math>, wtedy na mocy {{LinkWzór|3}}, {{LinkWzór|8}} będzie
tak, że definicja funkcji <math>f(x)\ </math> nie zależy od wyboru mapy <math>\phi_l\ </math> <math>(x\in U_l)\ </math>.
Zauważmy od razu <math>f\ </math> ''jest ciągła na <math>\mathbb{X}^n\ </math> wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia <math>f_l\ </math> w mapach są funkcjami ciągłymi.''
Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji <math>f\ </math> na <math>\mathbb{X}^n</math> za pomocą jej przedstawień w mapach niech <math>x_0\in U_l</math>; można powiedzieć, że <math>f\ </math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0\ </math>, gdy <math>f_l\ </math> jest różniczkowalna w punkcie <math>(x_0^i)=\phi_l(x_0)\in\mathbb{R}^n</math>.
Dla <math>x_0\in U_l \cap U_\chi</math> nie wynika na ogół z {{LinkWzór|8}} różniczkowalność <math>{f_\chi}\ </math> w punkcie <math>(x_0^{i'})=\phi_\chi(x_0)</math>, bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych <math>\phi_{l \chi}\ </math> są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych <math>\phi_{l \chi}\ </math> były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciagły. Wtedy różniczkowalność <math>f_\chi\ </math> będzie wynikała z różniczkowalności <math>f_l\ </math> oraz <math>\phi_{l \chi}\ </math> na mocy {{LinkWzór|8}} i [[reguła łańcuchowa|reguły łańcuchowej]] dla pochodnych funkcji złożonych.
== Przykłady ==
Linia 54 ⟶ 49:
== Zobacz też ==
* [[rozmaitość różniczkowa]]▼
* [[rozmaitość gładka]]
▲* [[rozmaitość różniczkowa]]
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]]
| |||