Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej: Różnice pomiędzy wersjami

m
m (WP:SK+Bn)
: [[Plik:Schemat IIR 2.svg|Filtr IIR]]
 
Na powyższym schemacie moduły <math>z^{-1}</math> oznaczają opóźnienie sygnału o jedną próbkę, natomiast <math>a_{i}a_i</math> oraz <math>b_{i}b_i</math> są współczynnikami filtru.
 
[[transmitancja operatorowa|Transmitancję]] filtru IIR można opisać następująco:
: <math>H(z) = \frac{Y(z)} {X(z)},</math>
 
gdzie:
: <math>Y(z)</math> – [[Transformacja Z|transformata Z]] wyjścia,
: <math>X(z)</math> – transformata Z wejścia
 
lub po rozpisaniu wzorów na wielomiany opisujące bieguny i zera:
: <math>H(z) = \frac{a_{0}a_0+a_{1}a_1 z^{-1}+...+a_{p}a_p z^{-p}} {1+(b_{1}b_1 z^{-1}+...+b_{q}b_q z^{-q})}.</math>.
 
Zera transmitancji determinowane są przez miejsca zerowe wielomianu licznika, zaś miejsca zerowe wielomianu mianownika określają bieguny transmitancji.
 
* Niska złożoność obliczeniowa.
* Niewielkie zapotrzebowanie na pamięć operacyjną.
 
Te zalety spowodowały duże zainteresowanie filtrami IIR i burzliwy rozwój teorii ich projektowania w latach 70. XX w., które przypadają na początki rozwoju technik [[Cyfrowe przetwarzanie sygnałów|cyfrowego przetwarzania sygnałów]], gdy nie były dostępne procesory o odpowiedniej [[Moc obliczeniowa|mocy obliczeniowej]].
 
 
== Przykład ==
Rozważane jest działanie filtru o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Założeniem jest estymacja średniego kosztu użytkowania energii elektrycznej na podstawie rachunku za prąd z bieżącego miesiąca <math>x(n)</math> oraz oszacowanej wartości z poprzedniego miesiąca <math>y(n-1){:}</math>:
: <math>y(n) = \frac{y(n-1) + x(n)}{2} = 0{,}5\cdot y(n-1) + 0{,}5 \cdot x(n) ,</math>
 
: <math>y(n) = \frac{y(n-1) + x(n)}{2} = 0{,}5\cdot y(n-1) + 0{,}5 \cdot x(n) </math>
gdzie:
: <math>n</math> – numer miesiąca,
: <math>y(n-1)</math> – oszacowanie wartości średniej w poprzednim miesiącu.
 
Dla <math>n=1</math> pojawia się problem brzegowy, ponieważ nie dysponuje się oszacowaniem <math>y(0)</math> – przyjęto, że <math>y(0)=0.</math>. Przykładowo:
: <math>y(1) = 0{,}5\cdot x(1) + 0{,}5 \cdot y(0) = 0{,}5 \cdot 24 + 0{,}5 \cdot 0 = 12</math>
: <math>y(2) = 0{,}5\cdot x(2) + 0{,}5 \cdot y(1) = 0{,}5 \cdot 12 + 0{,}5 \cdot 27 = 19{,}5</math>
 
Wartości kolejnych próbek wejściowych <math>x(n)</math> (rachunków) oraz szacowanych wartości średnich <math>y(n)</math> przedstawia tabela:
: {| class="wikitable" style="text-align:center"
 
! width="80px"| <math>n</math>
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
! width="80px30px" | <math>n</math>1
! width="30px" | 1 2
! width="30px" | 2 3
! width="30px" | 3 4
! width="30px" | 4 5
! width="30px" | 5 6
! width="30px" | 6 7
! width="30px" | 7 8
! width="30px" | 8 9
! width="30px" | 9 10
! width="30px" | 10 11
! width="30px" | 11 12
! width="30px" | 12
|-
! <math>x(n)</math>
| 24
| 27
| 31
| 59
| 33
| 37
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
|-
! <math>y(n)</math>
| 12
| 19,5
| 25,3
| 42,1
| 37,6
| 37,3
| 18,6
| 9,3
| 4,7
| 2,3
| 1,2
| 0,6
|}
 
Wykres próbek wejściowych <math>x(n)</math> oraz wyjściowych <math>y(n)</math> przedstawiony jest na wykresie poniżej (sygnał określony jest tylko dla dyskretnych wartości <math>n,</math>, natomiast linie pomagają zaobserwować trend sygnału):
: [[Plik:Przykład filtru NOI.svg|600px|Przykładowy uśredniający filtr NOI]]
 
Na podstawie tego prostego przykładu można wysnuć następujące, użyteczne wnioski:
* zaprojektowany filtr ''wygładza'' sygnał wejściowy – nagła zmiana sygnału wejściowego dla <math>n=4</math> została stłumiona,
* od chwili <math>n=7</math> sygnał wejściowy <math>x(n)</math> zanika – sygnał wyjściowy <math>y(n)</math> dąży do zera, aczkolwiek tej wartości nigdy nie osiągnie – jest to cecha charakterystyczna filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI).
 
Realizację filtru z przykładu przestawiono na rysunku poniżej, gdzie blok opóźniający o jedną próbkę oznaczono przez <math>z^{-1}{:}</math>:
: [[Plik:Noi diag ex.svg|300px|Przykładowy uśredniający filtr NOI]]
 
* Bartosz Ziółko, [[Mariusz Ziółko|M. Ziółko]]: ''Przetwarzanie mowy''. Wydawnictwa AGH, 2012.
* Michał Tadeusiewicz: ''Signals and Systems''. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Barański | imię = Przemysław | tytuł = Przekształcenie Z. Zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań | wydawca = Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej | data = 2014 | isbn = 978-83-7283-638-0}}
 
== Linki zewnętrzne ==