Kresy dolny i górny: Różnice pomiędzy wersjami

 

==Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych==

===Definicje===

Niech <math>A\subseteq \mathbb R</math> będzie [[zbiór pusty|niepustym podzbiorem]].

 

'''Ograniczeniem górnym (majorantą)''' zbioru <math>A</math> nazywamy liczbę <math>s\in \mathbb R</math> spełniającą:

:<math>s \geqslant a\; </math> dla wszystkich elementów <math>a \in A</math>.

 

 

'''Kresem górnym''' zbioru <math>A</math> nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę <math>s \in \mathbb R</math> spełniającą:

*<math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>;

*jeśli <math>s' \in \mathbb R</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>, to <math>s \leqslant s'\;</math>.

 

===Własności===

*Każdy niepusty podzbiór <math>\mathbb R</math> ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się [[Porządek zupełny|zupełnością zbioru]] liczb rzeczywistych (zob. [[aksjomat ciągłości]]).

*Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.

 

===Przykłady===

*Niech <math>A=[0, 3]</math>. Wówczas:

::<math>\inf(A)=0</math>, ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.

::<math>\sup(A)=3</math>, ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.

 

*Niech <math>B=(0, 3)</math>. Wówczas:

::<math>\inf(B)=0</math>, bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.

::<math>\sup(B)=3</math>, bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.

*Niech <math>C=\{0, 1, 3\}</math>. Wówczas podobnie jak dla zbioru <math>A</math>, <math>\inf(C)=0</math> oraz <math>\sup(C)=3</math>.

*Niech <math>D=\{\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \tfrac45, \tfrac56, \ldots\}</math>. Wówczas:

::<math>\sup(D)=1</math>, gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.

 

*Niech <math>E=\emptyset</math>. Wówczas:

::<math>\inf(E)=\infty,\quad \sup(E)=-\infty</math>, &nbsp;bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym jak i górnym zbioru ''E''.

 

 

Element <math>s\in X\,</math> nazywamy '''ograniczeniem górnym (majorantą)''' zbioru <math>A</math>, jeśli:

:<math>\forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s</math>.

 

Element <math>s\in X\,</math> nazywamy '''ograniczeniem dolnym (minorantą)''' zbioru <math>A</math>, jeśli:

:<math>\forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a</math>.

 

Element <math>s\in X\,</math> jest '''kresem górnym''' ('''supremum''') zbioru <math>A\,</math>, jeśli <math>s\,</math> jest [[Elementy najmniejszy i największy|elementem najmniejszym]] w zbiorze wszystkich ''ograniczeń górnych'' <math>A\,</math>, tzn.

:<math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>;

:jeśli <math>s' \in X</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>, to <math>s \sqsubseteq s'\;</math>.

 

Element <math>s\in X\,</math> jest '''kresem dolnym''' ('''infimum''') zbioru <math>A\,</math>, jeśli <math>s\,</math> jest [[Elementy najmniejszy i największy|elementem największym]] w zbiorze wszystkich ''ograniczeń dolnych'' <math>A\,</math>, tzn.

:<math>s</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A</math>;

:jeśli <math>s' \in X</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A</math>, to <math>s' \sqsubseteq s\;</math>.

 

===Własności===

*Każdy element zbioru <math>X</math> jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru <math>X</math>, a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru <math>X</math> (o ile takie istnieją w zbiorze <math>X</math> ).

*Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia <math>\inf(A)</math> i <math>\sup(A)</math> odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru <math>A</math> są jednoznaczne.

 

===Przykłady===

*Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] <math>{\mathbb Q}</math> z porządkiem naturalnym i zbiór <math>A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}</math>, to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. <br />Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać <math>(-\sqrt 2,\sqrt 2)</math> i ma oba kresy.

*Niech <math>X=(1,2)\cup(3,4)</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu górnego, bowiem <math>(3,4)</math> jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru <math>(1,2)</math>, ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór <math>(3,4)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu dolnego.

 

==Zobacz też==

*[[Elementy minimalny i maksymalny]]

*[[Elementy najmniejszy i największy]]

 

==Bibliografia==

*{{Cytuj książkę | nazwisko = Rasiowa | imię = Helena | tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | data = 1975 | seria = Biblioteka Matematyczna | strony = 112-122 }}

*{{Cytuj książkę | nazwisko = Wojciechowska | imię = Agnieszka | tytuł = Elementy logiki i teorii mnogości | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | data = 1979 | strony = 59-61 | isbn = 83-01-00756-7}}