Liczby nadrzeczywiste: Różnice pomiędzy wersjami

'''Liczby nadrzeczywiste''' ([[język angielski|ang.]] ''surreal numbers'') – klasa obiektów, spełniająca aksjomaty ciała, która zawiera w sobie zarówno [[liczby rzeczywiste]], [[Liczby hiperrzeczywiste|hiperrzeczywiste]], jak i [[liczby porządkowe|porządkowe]]. Tak jak liczby hiperrzeczywiste klasa ta zawiera również wielkości nieskończone oraz nieskończenie małe (infinitezymalne). Klasa liczb nadrzeczywistych oryginalnie została oznaczona<ref>http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9947(198501)287%3A1%3C365%3ACFOSN%3E2.0.CO%3B2-R .</ref> '''No''', jednak ze względu na podobieństwo do oznaczenia liczb naturalnych z zerem <math>\mathbb{N}_0</math> poniżej użyty został symbol <math>F.</math>.

* <math>b</math> (tzw. '''funkcja urodzinowa''') jest funkcją określoną w <math>F,</math>, o wartościach będących liczbami porządkowymi.

* Niech <math>A</math> i <math>B</math> będących podzbiorami <math>F,</math>, takimi że <math>\forall_{x\in A}\, \forall_{y\in B}\; x<y.</math>.

: Wówczas istnieje <math>z\in F,</math>, takie że:

: i jeśli liczba porządkowa <math>a</math> jest większa od każdego <math>b(u)</math> dla <math>u\in A \cup B,</math>, to <math>b(z)\leleqslant a.</math>.

# W każdym etapie tworzone liczby nadrzeczywiste są parami zbiorów <math>(L,R)</math> liczb nadrzeczywistych utworzonych wcześniej, przy czym żadna liczba należąca do <math>L</math> nie jest większa lub równa żadnej liczbie należącej do <math>R</math> a wartość funkcji urodzinowej liczby <math>(L,R)</math> jest większa od wartości funkcji urodzinowej dla każdej liczby w <math>L</math> i <math>R.</math>.

# Jeśli <math>x=(X_L,X_R)</math> i <math>y=(Y_L,Y_R)</math> reprezentują liczby nadrzeczywiste, to <math>x\leleqslant y</math> wtedy i tylko wtedy, gdy

#:: <math>\forall_{x\in X_L}\, \forall_{y\in Y_L}\; x\leleqslant y</math>

#:: <math>\forall_{x\in X_R}\, \forall_{y\in Y_R}\; x\leleqslant y</math>

# Dwie liczby nadrzeczywiste <math>x</math> i <math>y</math> są równe, jeśli <math>x\leleqslant y\leleqslant x.</math>.

Para <math>(L,R)</math> reprezentuje liczbę nadrzeczywistą większą od każdej liczby w <math>L</math> i mniejszą od każdej liczby w <math>R.</math>.

:: <math>x + y = (\{ X_L + y \cup x + Y_L\} , \{X_R + y \cup x + Y_R \}),</math>

:: <math>-x=(\{-X_R\},\{-X_L\})\ ,</math>

: <math>\begin{align}
xy =\ &(\{ (X_L y + x Y_L - X_L Y_L) \cup (X_R y + x Y_R - X_R Y_R) \} ,</math>\\

::: <math>,& \{(X_L y + x Y_R - X_L Y_R) \cup (X_R y + x Y_L - X_R Y_L)\})</math>,

\end{align}</math>

gdzie:
: gdzie <math>XY = \{ xy : x \in X \wedge y \in Y \},</math>

::: <math>Xy = X\{y\},\ </math>

::: <math>xY = \{x\}Y\ .</math>

Można też stosować zapis pary zbiorów g = {a, b, c...|d, e, f...} i mówić, że g to najprostsza liczba ostro większa od a, b, c... i ostro mniejsza od d, e, f...<ref>[[John Horton Conway]], [[Richard Kenneth Guy]], ''Księga liczb'', {{ISBN|83-204-2969-2}}, strs. 277-284277–284, 290.</ref>.

: {0, 1, 2, 3... |ω, ω/2, ω/4, ω/8... } = √ω

Można też utożsamiać je z grami ([[Hackenbush|gra Hackenbusha]]). Gra polega na tym, że jeden gracz usuwa z rysunku po jednej czerwone linie, a drugi czarne. Jednocześnie są usuwane linie, które straciły kontakt z podłożem. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Jeżeli strategię wygrywającą ma gracz czerwony, liczba jest dodatnia, jeżeli czarny – ujemna, a jeżeli drugi gracz zawsze może wygrać – liczba jest równa zeru. Liczbę przeciwną uzyskujemy przez zamianę kolorów linii. Dodawanie to po prostu postawienie rysunków obok siebie. To, która liczba jest większa, określa się sprawdzając znak sumy jednej liczby i liczby przeciwnej do drugiej. Można też zdefiniować mnożenie.

Liczby rzeczywiste określa się jako słupki – liczby naturalne to odpowiednia liczba czarnych kresek, przecinek zastępuje układ czarna – czerwona, a potem zera w [[układDwójkowy dwójkowysystem liczbowy|rozwinięciu dwójkowym]] to czerwone kreski, a jedynki – czarne. Ostatniego zera skończonej liczby nie zapisuje się.