Wikipedia

Optymalizacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 1:
[[Plik: MaximumParaboloid.png | right | thumb |Maksimum [[paraboloida eliptyczna|paraboloidy eliptycznej]]]]
'''Optymalizacja''' – problem polegający na znalezieniu [[Ekstremum funkcji|ekstremum]] zadanej [[funkcjaFunkcja celucelowa|funkcji celu]].
 
== Definicja formalna ==
Niech dana będzie [[funkcja]] <math>f{:}</math>:
: <math>f \colon A \rightarrowto \mathbb{R},</math>
gdzie <math>A \subset \R^n</math>. '''Zadanie optymalizacji''' polega na znalezieniu takiej wartości <math>x^{\ast} \in A</math>, że dla każdego <math>x \in A \backslash \{x^{\ast}\}</math> zachodzi:▼
: <math>f(x) > f(x^{\ast})</math>▼
 
▲gdzie <math>A \subset \mathbb{R}^n.</math>. '''Zadanie optymalizacji''' polega na znalezieniu takiej wartości <math>x^{\ast}* \in A,</math>, że dla każdego <math>x \in A \backslash \{x^{\ast}*\}</math> zachodzi:
Problemem równoważnym jest znalezienie maksimum funkcji - problem zdefiniowany jest tak samo jak powyżej z wyjątkiem zmiany znaku funkcji <math>f</math>.▼
▲: <math>f(x) > f(x^{\ast}*).</math>
 
▲Problemem równoważnym jest znalezienie maksimum funkcji -– problem zdefiniowany jest tak samo jak powyżej z wyjątkiem zmiany znaku funkcji <math>f.</math>.
 
O ile definicja matematyczna optymalizacji jest prosta, tak praktyczne wyznaczanie optimum już nie jest. W wielu problemach rzeczywistych mamy do czynienia z bardzo skomplikowaną daną funkcją, dla której wyszukanie optimum globalnego lub w zadanym zakresie nie jest łatwe. Na przestrzeni lat stworzono wiele [[algorytm]]ów wyszukiwania optimum (algorytmy optymalizacji) oraz rozwinął się nowy dział badań naukowych, nazywany [[badania operacyjne|badaniami operacyjnymi]].
 
== Optymalizacja statyczna i dynamiczna ==
Zadania optymalizacji dzielimy na dwie podstawowe klasy:
* optymalizację statyczną (sprowadzającą się do poszukiwania [[Ekstremum funkcji|ekstremum]] [[funkcja|funkcji]]) oraz
* optymalizację dynamiczną, sprowadzającą się do poszukiwania [[Ekstremum funkcji|ekstremum]] [[funkcjonał]]u.
 
Optymalizacja statyczna zajmuje się poszukiwaniem optymalnego punktu pracy, czyli takiego, w którym wartość funkcji celu jest najlepsza. Zależnie od sformułowania zadania będzie to wartość największa i najmniejsza, ale zawsze ekstremalna. Poszukiwanie ekstremum może się odbywać w pewnym ograniczonym obszarze zawierającym tylko jedno ekstremum -– mówimy wówczas o poszukiwaniu ekstremum lokalnego. Może też odbywać się w całej przestrzeni argumentów i wówczas mówimy o poszukiwaniu ekstremum globalnego. Zadanie nie zawsze udaje się rozwiązać poprawnie. Mimo bowiem istnienia ekstremum globalnego procedura poszukiwania może się zakończyć w punkcie będącym ekstremum lokalnym. Większość algorytmów numerycznych to algorytmy poszukiwania ekstremum lokalnego. Skuteczność działania takich procedur jest więc w dużym stopniu uwarunkowana wyborem odpowiedniego punktu startowego.
 
Wśród metod optymalizacji statycznej wyróżnia się dwie zasadnicze grupy: [[programowanie liniowe]] i [[programowanie nieliniowe]]. Programowanie liniowe polega na poszukiwaniu ekstremum liniowej funkcji celu przy ograniczeniach będących również funkcjami liniowymi. W zagadnieniach programowania liniowego ekstremum jest zawsze globalne w danym obszarze poszukiwań. Programowanie nieliniowe polega na poszukiwaniu ekstremum funkcji celu dowolnej postaci, przy ograniczeniach będących również wyrażonymi przez dowolne funkcje.
Linia 24 ⟶ 25:
 
== Metody optymalizacji ==
* [[algorytm punktu wewnętrznego]]▼
* [[metoda Newtona (optymalizacja)]]
* [[programowanie kwadratowe]]▼
* [[programowanie liniowe]]▼
* [[przeszukiwanie tabu]]
* [[wyszukiwanie binarne]]
▲* [[programowanie liniowe]]
▲* [[programowanie kwadratowe]]
▲* [[algorytm punktu wewnętrznego]]
 
== Zobacz też ==
* [[optymalizacja]]▼
* [[sterowanie optymalne]]▼
* [[Zasada Maksimum Pontriagina]]▼
* [[kryterium sterowania]]
▲* [[optymalizacja]]
* [[sterowanie minimalno-kwadratowe]]
▲* [[sterowanie optymalne]]
▲* [[Zasadazasada Maksimummaksimum Pontriagina]]
 
{{Dziedziny matematyki}}
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Optymalizacja_(matematyka)”