Obrót: Różnice pomiędzy wersjami

{{Inne znaczenia|matematyki|[[obrót (ujednoznacznienie)|inne znaczenia słowa "obrót"„obrót”]]}}

'''Obrót''' dookoła punktu <math>P</math> o [[kąt skierowany]] <math>\alpha</math> jest to [[Przekształcenie geometryczne|odwzorowanie geometryczne]] <math>O_P^\alpha</math> [[płaszczyzna|płaszczyzny]] na siebie, takie, że:<br />

1.# jeśli <math>P = Q\,</math>, to <math>O_P^\alpha(Q)=P,</math><br />

2.# jeśli <math>P \neq Q,</math>, to <math>O_P^\alpha(Q)=Q',</math>, gdzie <math>PQ' = PQ\,</math> oraz kąty skierowane <math>\angle QPQ' \mbox{ i } \alpha</math> są przystające.<br />

Punkt <math>P</math> nazywa się '''środkiem obrotu''', a kąt <math>\alpha</math> '''kątem obrotu''' <math>O_P^\alpha.</math>

Jeżeli <math>\alpha</math> jest [[Kąt#Klasyfikacja|kątem zerowym]] lub [[kąt]]em [[Kąt#Klasyfikacja|pełnym]], to niezależnie od punktu <math>P,</math>, obrót <math>O_P^\alpha</math> jest [[Funkcja tożsamościowa|odwzorowaniem tożsamościowym]], które nazywane jest obrotem zerowym.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch [[symetria osiowa|symetrii osiowych]] płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych <math>S_{l_2} \circ S_{l_1}</math> o osiach <math>l_1</math> i <math>l_2</math> przecinających się w punkcie <math>P</math> jest obrotem dookoła punktu <math>P</math> o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste <math>l_1</math> i <math>l_2.</math>.

Okręgi i koła o środku w punkcie <math>P\,</math> są figurami stałymi obrotu <math>O_P^\alpha.</math>.

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie ozespolonej kątpunktu <math>\beta\,z=x+iy</math> punktuwokół początku układu współrzędnych o kąt <math>P=(x,y)\,phi</math> można opisaćwyrazić wzorem analitycznym <math>O_{(0,0)}O_0^\betaphi(Pz)=z(x^\prime, y^cos\primephi+i\sin\phi).</math>, gdzie

* [[Grupa obrotów|grupa SO(3)]]