Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami

: ''Każda [[macierz normalna]] może zostać [[diagonalizacja|zdiagonalizowana]] (przy pomocy odpowiedniej [[macierzMacierz przekształcenia przejścialiniowego|macierzy przejścia]])''.

Niech <math> V </math> będzie [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenią ortogonalną]] nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z dodatnio określonym [[FunkcjonałForma dwuliniowydwuliniowa|funkcjonałem dwuliniowym]]<ref name = "przHilb"> Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]].</ref>. Jeśli <math> A : V \to V </math> jest [[Przekształcenie liniowe|endomorfizmem]] [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|samosprzężonym]], to istnieje [[Baza (przestrzeń liniowa)|baza]] [[bazaBaza ortogonalnaortonormalna|ortogonalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z [[WektorWektory własnyi wartości własne|wektorów własnych]] endomorfizmu <math> A .</math>

Niech <math> V </math> będzie [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] skończonego [[Wymiar (matematyka)|wymiaru]] nad ciałem [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] z [[Przestrzeń unitarna#Formy hermitowskie|formą hermitowską]] dodatnio określoną<ref name = "przHilb" />. Jeśli <math> A : V \to V </math> jest [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|operatorem samosprzężonym]], to istnieje baza ortogonalna przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A .</math>

: Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A .</math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).

=== UwagiWłaściwości ===

* Miara spektralna <math> E </math> z powyższego twierdzenia nazywana jest również ''rozkładem spektralnym operatora'' <math> T </math> lub ''przedstawieniem spektralnym operatora'' <math> T.</math>.

* Jeżeli <math>B</math> jest borelowskim podzbiorem <math>\sigma(T)</math> oraz <math>S\colon H\to H</math> jest operatorem ograniczonym, który komutuje z <math>T,</math>, tzn. <math>TS=ST,</math>, to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe) <math>E(B)</math> komutuje z <math>S.</math>.

: Niech <math>\mathcal{B}(H)</math> oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta <math>H.</math>. Jeśli <math>A</math> jest [[zbiór domknięty|domkniętą]] podalgebrą <math>\mathcal{B}(H)</math> złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy <math>I</math> i jeśli <math>\Delta</math> jest przestrzenią [[ideał maksymalny|ideałów maksymalnych]] <math>A,</math>, to

:: (a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa <math>E</math> na rodzinie borelowskich podzbiorów <math>\Delta</math> o wartościach w <math>\mathcal{B}(H)</math> taka, że

::: <math>T=\int\limits_\Delta \hat{T}dE</math>

:: dla każdego <math>T\in A,</math>, gdzie <math>\hat{T}</math> jest [[transformacjaTransformata Gelfanda|transformacją Gelfanda]] <math>T,</math>,

:: (b) odwrotną transormację Gelfanda (tj. odwzorowanie <math>\hat{T}\mapsto T</math>) można przedłużyć do [[izometria|izometrycznego]] [[*-pierścień|*-izomorfizmu]] <math>\Phi</math> algebry <math>L^\infty(E)</math> na domkniętą podalgebrę <math>A^\prime'</math> w <math>\mathcal{B}(H),</math>, <math>A\subseteq A^\prime'.</math>. Co więcej, *-izomorfizm <math>\Phi</math> wyraża się wzorem

::: <math>\Phi f=\int\limits_\Delta f dE,\; f\in L^\infty(E).</math>.

:: Dokładniej, <math>\Phi</math> jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że <math>\Phi \overline{f}=(\Phi f)^*</math> dla <math>f\in L^\infty (E).</math>.

:: (c) <math>A^\prime'=\mbox{cl}_{\mathcal{B}(H)}\mbox{lin}\{E(B)\colon B\in \mbox{Borel}(\sigma(T)\},</math>,

:: (d) jeśli <math>B\subseteq \Delta</math> jest otwarty i niepusty, to <math>E(B)\neq 0,</math>,

:: (e) operator <math>S\in \mathcal{B}(H)</math> komutuje z każdym <math>T\in A</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego <math>B\in \mbox{Borel}(\sigma(T))</math> operator <math>S</math> komutuje z <math>E(B).</math>.

* {{Cytuj książkę | nazwisko = Lang | imię = Serge | autor link = Serge Lang | nazwisko2 = Bittner | imię2 = Ryszard | tytuł = Algebra | data = 1984 | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-01519-5 | strony = 360-365360–365}}

* {{Cytuj książkę | nazwisko = Mlak | imię = Włodzimierz | tytuł = Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta | data = 1987 | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-07376-4 | strony = 257-265257–265}}

* {{Cytuj książkę | nazwisko = Rudin | imię = Walter | autor link = Walter Rudin | tytuł = Analiza funkcjonalna | data = 2001 | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-13375-9 | strony = 327-344327–344}}

* {{cytuj stronę | url = http://mathworld.wolfram.com/SpectralTheorem.html | tytuł = Spectral Theorem - Wolfram MathWorld | data dostępu = 10 lutego 2009 | autor = Eric W. Weisstein | język = en |data dostępu = 10 lutego 2009}}