Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 4 bajty ,  2 lata temu
m
m (Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy)
m (WP:SK+Bn)
'''Twierdzenie spektralne''' – wspólna nazwa [[Twierdzenie|twierdzeń]] w [[Algebra liniowa|algebrze liniowej]] i [[Analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]] uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, że
: ''Każda [[macierz normalna]] może zostać [[diagonalizacja|zdiagonalizowana]] (przy pomocy odpowiedniej [[macierzMacierz przekształcenia przejścialiniowego|macierzy przejścia]])''.
 
Ściślej, jeżeli traktujemy macierz normalną jako [[macierz przekształcenia liniowego|macierz pewnego endomorfizmu]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]], to można znaleźć [[baza ortonormalna|bazę ortonormalną]] tej przestrzeni, w której macierz ta będzie [[macierz diagonalna|diagonalna]]. Twierdzenia spektralne uogólniają ten fakt na przestrzenie nieskończenie wymiarowe z punktu widzenia algebry i analizy funkcjonalnej.
 
== Operatory samosprzężone ==
=== Przypadek rzeczywisty ===
Niech <math> V </math> będzie [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenią ortogonalną]] nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z dodatnio określonym [[FunkcjonałForma dwuliniowydwuliniowa|funkcjonałem dwuliniowym]]<ref name = "przHilb"> Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]].</ref>. Jeśli <math> A : V \to V </math> jest [[Przekształcenie liniowe|endomorfizmem]] [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|samosprzężonym]], to istnieje [[Baza (przestrzeń liniowa)|baza]] [[bazaBaza ortogonalnaortonormalna|ortogonalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z [[WektorWektory własnyi wartości własne|wektorów własnych]] endomorfizmu <math> A .</math>
 
=== Przypadek zespolony ===
Niech <math> V </math> będzie [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] skończonego [[Wymiar (matematyka)|wymiaru]] nad ciałem [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] z [[Przestrzeń unitarna#Formy hermitowskie|formą hermitowską]] dodatnio określoną<ref name = "przHilb" />. Jeśli <math> A : V \to V </math> jest [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|operatorem samosprzężonym]], to istnieje baza ortogonalna przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A .</math>
 
=== Wniosek ===
Przy założeniach powyższych twierdzeń:
: Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A .</math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
 
== Operatory normalne ==
Twierdzenie spektralne mówi, że każdemu [[Operator normalny|operatorowi normalnemu]] odpowiada dokładnie jedna [[hermitowska miara spektralna]] na rodzinie [[zbiór borelowski|borelowskich podzbiorów]] jego [[Widmo (matematyka)|widma]] o tej własności, że operator ten może być odtworzony z niej w sposób jednoznaczny. Ściślej, jeśli <math>H</math> jest przestrzenią Hilberta oraz <math>T\colon H\to H</math> jest operatorem normalnym, to istnieje dokładnie jedna hermitowska miara spektralna <math>E</math> określona na rodzinie borelowskich podzbiorów <math>\sigma(T)</math> taka, że
: <math> T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda E(d\lambda) .</math>.
 
: <math> T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda E(d\lambda) </math>.
 
Hermitowskie miary spektralne są [[miara wektorowa|miarami wektorowymi]], a całka w powyższym wzorze oznacza właśnie [[Całka względem miary wektorowej|całkę względem miary wektorowej]] z ([[funkcja tożsamościowa|tożsamościowej]]) funkcji skalarnej.
 
=== UwagiWłaściwości ===
* Miara spektralna <math> E </math> z powyższego twierdzenia nazywana jest również ''rozkładem spektralnym operatora'' <math> T </math> lub ''przedstawieniem spektralnym operatora'' <math> T.</math>.
* Jeżeli <math>B</math> jest borelowskim podzbiorem <math>\sigma(T)</math> oraz <math>S\colon H\to H</math> jest operatorem ograniczonym, który komutuje z <math>T,</math>, tzn. <math>TS=ST,</math>, to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe) <math>E(B)</math> komutuje z <math>S.</math>.
* Twierdzenie spektralne może być postrzegane jako szczególny przypadek twierdzenia dotyczącego raczej całych [[algebra Banacha|algebr]] operatorów normalnych niż ich pojedynczych elementów:
: Niech <math>\mathcal{B}(H)</math> oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta <math>H.</math>. Jeśli <math>A</math> jest [[zbiór domknięty|domkniętą]] podalgebrą <math>\mathcal{B}(H)</math> złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy <math>I</math> i jeśli <math>\Delta</math> jest przestrzenią [[ideał maksymalny|ideałów maksymalnych]] <math>A,</math>, to
:: (a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa <math>E</math> na rodzinie borelowskich podzbiorów <math>\Delta</math> o wartościach w <math>\mathcal{B}(H)</math> taka, że
::: <math>T=\int\limits_\Delta \hat{T}dE</math>
:: dla każdego <math>T\in A,</math>, gdzie <math>\hat{T}</math> jest [[transformacjaTransformata Gelfanda|transformacją Gelfanda]] <math>T,</math>,
:: (b) odwrotną transormację Gelfanda (tj. odwzorowanie <math>\hat{T}\mapsto T</math>) można przedłużyć do [[izometria|izometrycznego]] [[*-pierścień|*-izomorfizmu]] <math>\Phi</math> algebry <math>L^\infty(E)</math> na domkniętą podalgebrę <math>A^\prime'</math> w <math>\mathcal{B}(H),</math>, <math>A\subseteq A^\prime'.</math>. Co więcej, *-izomorfizm <math>\Phi</math> wyraża się wzorem
::: <math>\Phi f=\int\limits_\Delta f dE,\; f\in L^\infty(E).</math>.
:: Dokładniej, <math>\Phi</math> jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że <math>\Phi \overline{f}=(\Phi f)^*</math> dla <math>f\in L^\infty (E).</math>.
:: (c) <math>A^\prime'=\mbox{cl}_{\mathcal{B}(H)}\mbox{lin}\{E(B)\colon B\in \mbox{Borel}(\sigma(T)\},</math>,
:: (d) jeśli <math>B\subseteq \Delta</math> jest otwarty i niepusty, to <math>E(B)\neq 0,</math>,
:: (e) operator <math>S\in \mathcal{B}(H)</math> komutuje z każdym <math>T\in A</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego <math>B\in \mbox{Borel}(\sigma(T))</math> operator <math>S</math> komutuje z <math>E(B).</math>.
* Ważniejszymi narzędziami w dowodzie powyższego twierdzenia są: [[twierdzenie Gelfanda-Najmarka]], [[twierdzenie Riesza-Skorochoda]] i [[lemat Urysohna]].
 
== Zobacz też ==
* [[diagonalizacja]]
* [[Diagonalizacja|endomorfizm diagonalizowalny]]
* [[mechanika kwantowa]]
* [[obserwabla]]
* [[endomorfizm diagonalizowalny]]
* [[rozkład macierzy]]
* [[diagonalizacja]]
 
== Przypisy ==
 
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Lang | imię = Serge | autor link = Serge Lang | nazwisko2 = Bittner | imię2 = Ryszard | tytuł = Algebra | data = 1984 | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-01519-5 | strony = 360-365360–365}}
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Mlak | imię = Włodzimierz | tytuł = Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta | data = 1987 | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-07376-4 | strony = 257-265257–265}}
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Rudin | imię = Walter | autor link = Walter Rudin | tytuł = Analiza funkcjonalna | data = 2001 | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-13375-9 | strony = 327-344327–344}}
* {{cytuj stronę | url = http://mathworld.wolfram.com/SpectralTheorem.html | tytuł = Spectral Theorem - Wolfram MathWorld | data dostępu = 10 lutego 2009 | autor = Eric W. Weisstein | język = en |data dostępu = 10 lutego 2009}}
 
[[Kategoria:Twierdzenia matematyczne|Spektralne]]