Postać Jordana: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 5:
: <math>A= P J P^{-1},</math>
gdzie:
* ''A'' – dana macierz,
* ''P'' – pewna [[Macierz odwrotna|macierz nieosobliwa]] której niektórymi kolumnami są [[Wektory i wartości własne|wektory własne]] macierzy ''A'',
* ''J'' – szukana macierz Jordana.
Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała [[macierz klatkowa|klatki]] (zwane '''klatkami Jordana'''), czyli
: <math>J=\begin{pmatrix}
J_1
0
\vdots
0
\end{pmatrix}.</math>
Zaś każda klatka Jordana ma daną [[Wektory i wartości własne|wartość własną]] na diagonali i liczbę 1 ponad nią.
: <math>J_k=\begin{pmatrix}
\lambda_k & 1
0
0
\vdots
0
0
\end{pmatrix}.</math>
Każdej klatce Jordana odpowiada dokładnie jeden [[Wektory i wartości własne|wektor własny]], ale może istnieć kilka klatek Jordana o tej samej wartości własnej.
Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału <math>\{ 1,2, ..., N \},</math>
Macierz Jordana to [[macierz trójkątna]] górna. Można równie dobrze umówić się, że macierze Jordana są dolnotrójkątne (jedynki są poniżej diagonali), jednak historycznie przyjęto używać macierzy górnotrójkątnych.
Linia 53:
Stosunkowo łatwo jest podnosić do potęgi [[Macierz|macierz kwadratową]] w postaci Jordana.
: <math>\begin{align}
A^m&= (P J P^{-1})^m = \overbrace{ P J P^{-1} P J P^{-1} \dots P J P^{-1} }^
&= P J^m P^{-1} = P \operatorname{diag}(J_1^m, J_2^m, \dots, J_n^m) P^{-1}
\end{align}</math>
Linia 62:
Załóżmy, że <math>V</math> jest skończeniewymiarową [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad [[ciało algebraicznie domknięte|ciałem algebraicznie domkniętym]] <math>F</math> (w szczególności, [[liczby zespolone|ciałem liczb zespolonych]]) oraz <math>\varphi</math> jest [[endomorfizm]]em tej przestrzeni. Wówczas istnieje baza przestrzeni <math>V</math> w której <math>\varphi</math> ma [[macierz przekształcenia liniowego|macierz]] w postaci [[macierz klatkowa|macierzy klatkowej]]
: <math>J=\left[\begin{matrix}
A_1 & 0 & 0 & 0 &
0 & A_2 & 0
0
gdzie każda macierz <math>A_i</math> jest postaci
: <math>A_i=\left[\begin{matrix}
\lambda_i & 1
0
0
\vdots
0
0
\end{matrix}\right],\quad Macierz <math>A_i</math> nazywamy klatką Jordana. Elementy diagonalne <math>\
== Zobacz też ==
* [[diagonalizacja]]
* [[rozkład macierzy]]
* [[rozkład według wartości osobliwych]]
▲* [[Postać Frobeniusa]]
== Przypisy ==▼
{{Przypisy}}▼
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Koźniewski |imię = Tadeusz |tytuł = Wykłady z algebry liniowej II. Przestrzenie afiniczne i euklidesowe |
== Linki zewnętrzne ==
* [http://mathworld.wolfram.com/JordanCanonicalForm.html Postać Jordana] {{lang|en}} w encyklopedii [[MathWorld]]
▲== Przypisy ==
▲{{Przypisy}}
{{Kontrola autorytatywna}}
[[Kategoria:Algebra liniowa]]
| |||