Grupa multiplikatywna: Różnice pomiędzy wersjami

* w [[teoria grup|teorii grup]]: '''grupa w zapisie multiplikatywnym'''<ref group="uwaga" name="uwaga1">W dawniejszych publikacjach stosowano przymiotnik ''mult'''y'''plikatywny'', który później przyjął postać ''mult'''i'''plikatywny'', prawdopodobnie od angielskiego przymiotnika ''multiplicative''. W&nbsp; języku staropolskim słowo ''multyplikacja'' oznaczało „mnożenie”. Obecnie słownik ortograficzny dopuszcza już tylko formę ''mult'''i'''-''.</ref> – [[grupa (matematyka)|grupa]], w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku <math>\cdot,</math>, branie elementu odwrotnego przez ⁻¹, [[element neutralny]] zaś oznaczony jest przez <math>1</math><ref>M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow, ''Podstawy teorii grup'', PWN 1976, s. 14.</ref>;

* w [[teoria pierścieni|teorii pierścieni]], [[ciało (matematyka)|ciał]], [[algebra nad ciałem|algebr]] '''grupa multiplikatywna'''<ref group="uwaga" name="uwaga1" /> <math>(R^*,\cdot)</math> '''pierścienia, ciała, algebry łącznej''' <math>R</math> to zbiór [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]], [[ciało (matematyka)|ciała]], [[algebra nad ciałem|algebry]] łącznej z działaniem mnożenia<ref>[[Andrzej Białynicki-Birula]] ''Zarys algebry'', PWN 1987, s. 47.</ref>; często używane oznaczenia: <math>R^*,</math>, <math>R^{\cdot},</math>, <math>U(R);</math>;

*: <math>R^* = \{x\in R: \exists_{y\in R}\left[ xy=1 \right]\};</math>;

<math>R</math> jest [[Pierścień z dzieleniem|pierścieniem z dzieleniem]] (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>R^* = R\setminus\{0\};</math>; w przeciwnym razie zbiór <math>R^*</math> jest mniejszy, np. <math>\mathbb{Z}^* = \{1,-1\};</math>;

* algebraiczny [[torus (matematyka)|torus]] <math>GL_1</math> jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa <math>\mathbb{G}_m,</math>, ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multiplikatywna; jest rozmaitością grupową.

* w [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]]: snop [[grupa przemienna|grup abelowych]] <math>\mathbb{G}_m</math> reprezentowany przez schemat grupowy <math>\mathrm{Spec}\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right];</math>; grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym <math>\mathrm{Spec}R</math> jest grupa homomorfizmów pierścieni <math>\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]\rightarrowto R</math><ref>Davis Mumford, ''Abelian Varieties'', Bombay 1968, III§11.</ref>; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą <math>R^*{:}</math>: homomorfizmowi <math>f:\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]\rightarrowto R</math> odpowiada jednoznacznie element <math>f(X),</math>, przy czym <math>f(X)f(X^{-1})=1;</math>;