Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
m Wycofano edycje użytkownika 93.105.186.51 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Mathieu Mars. Znacznik: Wycofanie zmian |
||
Linia 1:
{{Definicja intuicyjna|Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca [[rozwinięcie dziesiętne]].}}
'''Liczby wymierne''' – [[Liczba|liczby]], które można zapisać w postaci [[Dzielenie|ilorazu]] dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], gdzie druga jest różna od [[0 (liczba)|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[Ułamek|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>\mathbb Q.</math> Wobec tego:
: <math>\mathbb Q = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.</math>
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy '''liczbą niewymierną'''. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. [[liczby całkowite]] i [[liczby naturalne]].
Liczby wymierne tworzą [[ciało ułamków]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
Niech w zbiorze [[para uporządkowana|par]] liczb całkowitych <math>(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*,</math> których następnik jest różny od [[0 (liczba)|zera]], dana będzie [[relacja równoważności]]
: <math>(a,b) \sim (c,d)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>ad=bc.</math>
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa [[działanie dwuargumentowe|działania]]
* <math>[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],</math>
* <math>[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)].</math>
Parę <math>(a, b)</math> zapisuje się zwykle w postaci ułamka <math>\tfrac{a}{b},</math> bądź jeśli <math>b=1,</math> to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą <math>a.</math>
== Własności ==
* Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią [[ciało (matematyka)|ciało]].
| |||