Wikipedia

Środkowa trójkąta: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Paweł Ziemian BOT (dyskusja | edycje)
Boty
1 384 060 edycji
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy
Linia 1:
[[Plik:Triangle.Centroid.svg |thumb|250px|Środkowe w trójkącie oznaczone kolorem czerwonym.]]
'''Środkowa trójkąta''' – [[odcinek]] łączący wierzchołek [[trójkąt]]a ze środkiem przeciwległego boku; czasem tak nazywa się też [[prosta|prostą]] zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe.
 
Każda ze środkowych dzieli trójkąt na dwie części o równych polach. Korzystając z [[Twierdzenie cosinusów|twierdzenia Carnota]] można dowieść, że w trójkącie o bokach <math>a, b, c,</math>, długość środkowej <math>d</math> opadającej na bok <math>c</math> wynosi:
: <math>d = \tfrac{1}{2} \sqrt{ 2a^2 + 2b^2 - c^2}.</math>
 
'''Uwaga''': Środkowej trójkąta nie należy mylić z [[linia środkowa|linią środkową]] łączącą środki dwóch boków trójkąta.
Linia 13:
; Dowód
Na mocy własności [[równoległobok]]u środkowe trójkąta abc wyprowadzone z wierzchołków a, b i c są wyznaczone przez wektory odpowiednio:
: <math>\mathrm{
\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2},
\quad
\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ba}+\overrightarrow\mathrm{bc}}{2},
\quad
\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ca}+\overrightarrow\mathrm{cb}}{2}
}</math>
 
Koniec pierwszego wektora odpowiednio skróconego tj. wektora ▼
: <math> \mathrm{\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2}}</math> ▼
 
▲Koniec pierwszego wektora odpowiednio skróconego tj. wektora
▲: <math> \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2}</math>
należy do drugiej i trzeciej środkowej jednocześnie (a więc pokrywa się z punktem ich przecięcia).
 
Rzeczywiście, korzystając z zależności
: <math>\overrightarrow\mathrm{\overrightarrow{ab}+\overrightarrow\mathrm{bc}+\overrightarrow\mathrm{ca}=0}</math>
 
otrzymuje się
: <math>\overrightarrow\mathrm{\overrightarrow{ba}+ \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2}= \tfrac{2\overrightarrow\mathrm{ba}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{3} = \tfrac{2\overrightarrow\mathrm{ba}+(\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{bc})}{3} = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ba}+\overrightarrow\mathrm{bc}}{2}}</math>
 
oraz
: <math>\overrightarrow\mathrm{\overrightarrow{ca}+ \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2} = \tfrac{2\overrightarrow\mathrm{ca}+\overrightarrow\mathrm{ab}}{3} = \tfrac{2\overrightarrow\mathrm{ca}+(\overrightarrow\mathrm{ac}+\overrightarrow\mathrm{cb})}{3} = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ca}+\overrightarrow\mathrm{cb}}{2}}</math>
 
=== Uwaga ===
Linia 39 ⟶ 42:
Użyto natomiast pojęcia [[równoległość|równoległości]] prostych (np. poprzez stosowanie pojęcia wektora swobodnego) oraz [[twierdzenie Talesa]] (np. stosunek podziału odcinka), za czym kryje się [[postulat Euklidesa|aksjomat Euklidesa]].
Jednak użycie twierdzenia Talesa do dowodu, że środkowe dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, nie jest konieczne.
Co więcej, twierdzenie to jest twierdzeniem [[Geometria_absolutnaGeometria absolutna|geometrii absolutnej]], czyli nie zależy od aksjomatu Euklidesa<ref>W. Kostin, ''Podstawy geometrii'', Państwowe Zakłady WydawnictWydawnictw Szkolnych, Warszawa 1961, s. 121.</ref>.
 
== Punkt przecięcia środkowych w ujęciu analitycznym ==
=== Równanie wektorowe ===
Jeśli mamy trójkąt o wierzchołkach a, b i c to przecięcie środkowych jest punktem '''x''' spełniającym równanie:
: <math>\overrightarrow\mathrm{\overrightarrow{ax}+\overrightarrow\mathrm{bx}+\overrightarrow\mathrm{cx} = 0}</math>
 
=== Wyznaczenie przez wektor wodzący ===
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Środkowa_trójkąta”