Wikipedia

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m Usunięto kategorię "Analiza matematyczna" za pomocą HotCat
Linia 8:
Załóżmy że:
: (a) <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> jest [[przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną z miarą]],
: (b) <math>f_n:\colon X\longrightarrow {\mathbb R}</math> (dla <math>n\in {\mathbb N}</math>) jest funkcją mierzalną,
: (c) <math>0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant f_3(x)\leqslant\ldots</math> dla każdego <math>x\in X,</math>,
: (d) dla wszystkich <math>x\in X</math> istnieje [[Granica ciągu|granica]] <math>\lim\limits_lim_{n \to \infty} f_n(x);</math>; niech funkcja <math>f:\colon X\longrightarrow {\mathbb R}</math> będzie zdefiniowana przez
:: <math>f(x)=\lim\limits_lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> dla <math>x\in X.</math>.
Wówczas funkcja ''f'' jest mierzalna. Jeśli dodatkowo▼
: (e) każda z funkcji <math>f_n</math> jest całkowalna i zbiór <math>\left\{\int f_n\ d\mu:n\in {\mathbb N}\right\}</math> jest ograniczony z góry,▼
 
▲Wówczas funkcja ''<math>f''</math> jest mierzalna. Jeśli dodatkowo
to funkcja ''f'' jest całkowalna oraz <math>\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.▼
▲: (e) każda z funkcji <math>f_n</math> jest całkowalna i zbiór <math>\left\{\int f_n\ d\mu:n\in {\mathbb N}\right\}</math> jest ograniczony z góry,
 
▲to funkcja ''<math>f''</math> jest całkowalna oraz <math>\int f\ d\mu=\lim\limits_lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.</math>.
Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność [[zbiór miary zero|prawie wszędzie]], a nie dla każdego <math>x</math>.▼
 
▲Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność [[zbiór miary zero|prawie wszędzie]], a nie dla każdego <math>x.</math>.
 
== Szkic dowodu ==
Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna<ref name=rudinzespolony>{{Cytuj książkę|imię=Walter |nazwisko=Rudin |imię=Walter |tytuł=Analiza rzeczywista i zespolona |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |strony=23, 29}}</ref>. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, ''<math>f''</math> jest mierzalna. Ponieważ ciąg <math>\left(\int f_n d\mu\right)_{n\in {\mathbb N}}</math> jest [[funkcja monotoniczna|monotonicznie]] rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech <math>C=\lim\limits_lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.</math>.
 
Przypuśćmy, że <math>h:\colon X\longrightarrow {\mathbb R}</math> jest całkowalną [[funkcja prosta|funkcją prostą]] taką, że <math>0\leqslant h\leqslant f.</math>. Ustalmy na jakiś czas liczbę <math>\alpha\in (0,1).</math>. Dla liczby naturalnej <math>n\in {\mathbb N}</math> połóżmy
: <math>A_n=\{x\in X: \alpha\cdot h(x)\leqslant f_n(x)\}.</math>.
 
Oczywiście, <math>A_n\in {\mathcal F}</math> (jako że zarówno <math>f_n,</math>, jak i <math>h</math> są mierzalne) oraz <math>A_n\subseteq A_{n+1}</math> (używamy tu założenia (c)). Ponieważ <math>\alpha\cdot h(x)<f(x)</math> ilekroć <math>f(x)>0,</math>, to używając założenia (d) widzimy, że <math>X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n.</math>. Zauważmy, że
: (i)&nbsp;&nbsp; <math>{}\quad\alpha\cdot\int\limits_{A_n} h\ d\mu\leqslant \int\limits_{A_n} f_n\ d\mu\leqslant \int f_n\ d\mu.</math>.
Następnie, pamiętając że ''h'' jest funkcją prostą, sprawdza się że▼
: (ii)&nbsp;&nbsp;<math>\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n} h\ d\mu=\int\limits_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} h\ d\mu=\int h\ d\mu</math>.
Przechodząc z ''n'' do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy▼
: <math>\alpha\cdot\int h\ d\mu\leqslant C</math>.▼
Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby <math>\alpha\in (0,1)</math>, to otrzymujemy iż <math>\int h\ d\mu\leqslant C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.▼
 
▲Następnie, pamiętając że ''<math>h''</math> jest funkcją prostą, sprawdza się że
Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej ''h'' spełniającej nierówności <math>0\leqslant h\leqslant f</math>, mamy że <math>\int h\ d\mu\leqslant C</math>, a więc funkcja ''f'' jest całkowalna oraz <math>\int f\ d\mu\leqslant C</math>. (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji [[Całka Lebesgue’a#Całkowanie funkcji mierzalnych|całkowalnych w sensie Lebesgue’a]].) Ponieważ jednocześnie <math>\int f_n\ d\mu\leqslant \int f\ d\mu</math> (jako że <math>f_n\leqslant f</math>), to mamy też▼
: (ii) <math>{}\quad\lim_{n\to\infty}\int\limits_{A_n} fh\ d\mu= C=\limint\limits_{\bigcup_{n \to =1}^\infty A_n} h\ d\mu=\int f_nh\ d\mu.</math>.
 
▲Przechodząc z ''<math>n''</math> do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy
▲: <math>\alpha\cdot\int h\ d\mu\leqslant C.</math>.
 
▲Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby <math>\alpha\in (0,1),</math>, to otrzymujemy iż <math>\int h\ d\mu\leqslant C=\lim\limits_lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.</math>.
 
▲Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej ''<math>h''</math> spełniającej nierówności <math>0\leqslant h\leqslant f,</math>, mamy że <math>\int h\ d\mu\leqslant C,</math>, a więc funkcja ''<math>f''</math> jest całkowalna oraz <math>\int f\ d\mu\leqslant C.</math>. (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji [[Całka Lebesgue’a#Całkowanie funkcji mierzalnych|całkowalnych w sensie Lebesgue’a]].) Ponieważ jednocześnie <math>\int f_n\ d\mu\leqslant \int f\ d\mu</math> (jako że <math>f_n\leqslant f</math>), to mamy też
: <math>\int f\ d\mu= C=\lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.</math>
 
== Zastosowania ==
* Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach [[lemat Fatou|lematu Fatou]].
* Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach <math>f_1,f_2,\ldotsdots</math>) do całkowań nieujemnych [[Szereg funkcyjny|szeregów funkcyjnych]]:
: <math>\sum_n \int f_n\;d\mu=\int\;\sum_n f_n\;d\mu.</math>
 
== Zobacz też ==
* [[całka Lebesgue’a]]
* [[funkcja całkowalna]]
* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej]]▼
* [[lemat Fatou]]
* [[twierdzenie Fubiniego]]
▲* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej]]
* [[twierdzenie Vitaliego o zbieżności]]
 
Linia 53 ⟶ 57:
 
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę|imię=Walter |nazwisko=Rudin |imię=Walter |tytuł=Analiza rzeczywista i zespolona |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |rok=1998 |isbn=978-83-01-15801-9}}
* {{Cytuj książkę|imię=Ryszard |nazwisko=Rudnicki |imię=Ryszard |tytuł=Wykłady z analizy matematycznej |wydawca=Wydawnictwo Naukowe PWN |rok=2006}}
 
[[Kategoria:Teoria miary]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lebesgue’a_o_zbieżności_monotonicznej”