Grupa cykliczna: Różnice pomiędzy wersjami

'''Grupa cykliczna''' – [[grupa (matematyka)|grupa]] [[zbiór generatorów grupy|generowana]] przez pojedynczy element nazywany jej ''generatorem''<ref name="nr1">Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cyclic„Cyclic group"group”, ''Encyclopedia of Mathematics'', Springer, {{ISBN|978-1-55608-010-4}}.</ref> (grupa cykliczna może mieć wiele generatorów, ale każdy z nich samodzielnie generuje tę grupę). Oznacza to, że poprzez iterowanie (wielokrotne złożenie) działania grupowego na generatorze lub jego odwrotności można uzyskać dowolny element tej grupy; w [[grupa (matematyka)#Konwencje|notacji multiplikatywnej]] elementy są więc potęgami generatora, a w [[grupa (matematyka)#Konwencje|notacji addytywnej]] – jego wielokrotnościami.

Grupy cykliczne należą do najprostszych i najlepiej poznanych grup: [[grupa (matematyka)#Pojęcia|skończone i nieskończone]] grupy cykliczne [[izomorfizm|mają tę samą strukturę]] co (odpowiednio) grupy addytywne <math>\mathbb Z_n</math> dla <math>n \in \mathbb N</math> (zob. [[arytmetyka modularna]]) oraz <math>\scriptstyle \mathbb Z</math> (zob. [[liczby całkowite]]). W szczególności stanowią one „budulec” niektórych rodzajów grup przemiennych, zob. klasyfikacje [[grupa przemienna#Skończone grupy przemienne|grup przemiennych o skończonej liczbie elementów]] oraz [[skończenie generowana grupa przemienna#Klasyfikacja|grup przemiennych o skończonej liczbie generatorów]].