Warstwa graniczna (mechanika płynów): Różnice pomiędzy wersjami

=== Równania Prandtla ===

Przyjmując oś <math>\; x \,</math> prostokątnego układu współrzędnych równoległą do sztywnej ścianki ciała stałego, składową <math>\; x</math>-ową prędkości <math>\; u \,</math> równoległą do ścianki i zgodną z kierunkiem przepływu zasadniczego, natomiast oś <math>\, y \,</math> układu prostokątnego i <math>\; y</math>-ową składową prędkości <math>\; v \,</math> prostopadłe do ścianki, równania Prandtla przyjmują postać:

: <math> \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \; = \; 0 \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\quad (1) </math>

 

 

Ponadto, jeśli płyn jest nieściśliwy, wówczas:

: <math> \frac{\partial p}{\partial y} \; = \; 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad (3)</math>

 

Ostatnie z powyższych równań oznacza, że ciśnienie płynu przyjmować można jako stałe w poprzek warstwy granicznej. Ponieważ ciśnienie nie zmienia się w kierunku prostopadłym do warstwy granicznej, jest ono zatem równe ciśnieniu w otoczeniu warstwy granicznej. Wyrażając ciśnienie w rdzeniu przy pomocy prędkości napływającego strumienia płynu <math>\; U \,</math> w oparciu o [[równanie Bernoulliego]] obowiązujące dla płynów idealnych, otrzymamy ostatecznie:

: <math> u \, \frac{\partial u}{\partial x} + v \, \frac{\partial u}{\partial y} \; = \; U \, \frac{d U}{d x} + \frac{\mu}{\varrho} \, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \qquad \qquad (4) </math>