Twierdzenie Stokesa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne techniczne |
|||
Linia 1:
[[Plik:Stokes George G.jpg|thumb|[[George Gabriel Stokes]] (
'''Twierdzenie Stokesa''' – twierdzenie mówiące, że [[cyrkulacja]] pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym [[Krzywa Jordana|konturze]] gładkim jest równa strumieniowi [[rotacja|rotacji]] pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w [[teoria pola (fizyka)|teorii pól]]. Używane jest w [[mechanika płynów|mechanice płynów]], [[równania Maxwella|równaniach Maxwella]] i wielu innych. [[Twierdzenie Greena|Twierdzenia Greena]] i [[Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa|Ostrogradskiego-Gaussa]] można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.
Linia 7:
=== Dowód ===
Niech <math>\Sigma = \{r(s,t),\, (s,t)\in D\},</math> gdzie <math>r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))</math> oraz <math>r(D) = \Sigma.</math> Wówczas, wykorzystując [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] oraz wzór na [[całka krzywoliniowa|całkę krzywoliniową]] (tu krzywą jest <math>r(s,t)</math>), otrzymujemy równość:
: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \oint\limits_{\partial D}(P\circ r)(x'_s ds + x'_t dt).</math>
Linia 29:
Załóżmy, że <math>H\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest orientowalną powierzchnią gładką, <math>K\subseteq H</math> jest [[przestrzeń zwarta|zbiorem zwartym]] oraz <math>K=\operatorname{cl\,Int}K</math> oraz, że brzeg <math>\mathrm{Fr}K</math> jest <math>(M\!-\!1)</math>-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] zawierającym powierzchnię <math>H,</math> <math>\Omega\colon W\to S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})</math> jest [[Forma różniczkowa|formą]] klasy <math>C^1,</math> a <math>\sigma</math> jest orientacją powierzchni <math>H,</math> to
: <math>{}\,\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\mathrm{Fr}K]_{\sigma^{\scriptstyle\mathrm{Fr}}}}\Omega,</math>
gdzie orientacja <math>\sigma^{\rm{Fr}}</math> powierzchni <math>\mathrm{Fr}K</math> dana jest wzorem
Linia 50:
Jeżeli <math>\omega\colon W\to\mathbb{R}^N</math> jest funkcją klasy <math>C^1,</math> to
: <math>{}\,\int\limits_{\mathrm{Fr}(K)}\omega(y)z(y)\mu_\mathrm{Fr}(dy)=\int\limits_K\operatorname{div} \omega(y)dy,</math>
gdzie <math>\operatorname{div}</math> oznacza operator [[dywergencja|dywergencji]].
Linia 65:
gdzie <math>z(y)</math> jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy <math>N=2</math>). Jeżeli <math>\omega=(\omega_1, \omega_2)\colon W\to \mathbb{R}^2</math> jest funkcją klasy <math>C^1,</math> to
: <math>{}\,\int\limits_{\mathrm{Fr}(K)}\omega(y)s(y)\mu_\mathrm{Fr}(dy)=\int\limits_K(\omega_{2|1}(y)-\omega_{1|2}(y))dy.</math>
[[Kategoria:Geometria różniczkowa]]
| |||