Gry nieskończone: Różnice pomiędzy wersjami

'''Strategia dla gracza I''' to funkcja <math>\sigma,</math>, której dziedziną jest zbiór wszystkich ciągów o parzystej długości i wyrazach w <math>\mathcal X</math> i której wartości są elementami zbioru <math>\mathcal X;</math> tak więc <math>\sigma\colon \bigcup\limits_{k\in\omega} \mathcal X^{2k}\longrightarrow \mathcal X.</math> Powiemy, że ciąg <math>\eta\in \mathcal X^\omega</math> '''jest zgodny ze strategią <math>\sigma</math>''', jeśli <math>(\forall k\in\omega)(\eta(2k)=\sigma(\eta\upharpoonright 2k)).</math> Strategia <math>\sigma</math> dla gracza I jest '''strategią zwycięską gracza I w <math>\Game^\mathcal X(A)</math>''', jeśli każdy ciąg <math>\eta</math> zgodny z <math>\sigma</math> należy do zbioru <math>A.</math>.

'''Strategia dla gracza II''' to funkcja <math>\tau,</math>, której dziedziną jest zbiór wszystkich ciągów o nieparzystej długości i wyrazach w <math>\mathcal X</math> i której wartości są elementami zbioru <math>\mathcal X;</math> tak więc <math>\tau\colon \bigcup\limits_{k\in\omega} \mathcal X^{2k+1}\longrightarrow \mathcal X.</math> Powiemy, że ciąg <math>\eta\in \mathcal X^\omega</math> '''jest zgodny ze strategią <math>\tau</math>''', jeśli <math>(\forall k\in\omega)(\eta(2k+1)=\tau(\eta\upharpoonright (2k+1))).</math> Strategia <math>\tau</math> dla gracza II jest '''strategią zwycięską gracza II w <math>\Game^\mathcal X(A)</math>''', jeśli żaden ciąg <math>\eta</math> zgodny z <math>\tau</math> nie należy do zbioru <math>A.</math>.

* dla każdego ciągu <math>\nu\in \mathcal T</math> długości <math>\mathrm{lh}(\nu)=n</math> istnieje ciąg <math>\rho\in \mathcal T</math> długości <math>\mathrm{lh}(\rho)=n+1,</math> który wydłuża <math>\nu.</math>.

Rozważa się również gry długości większej niż <math>\omega.</math>. W takim przypadku często wprowadza się dodatkowy parametr <math>S</math> opisujący, które posunięcia są wykonywane przez gracza I (pozostałe wybory są dokonywane przez gracza II).

Niech <math>\alpha</math> będzie nieskończoną liczbą porządkową oraz <math>S\subseteq\alpha.</math> Niech <math>\mathcal X</math> będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech <math>A\subseteq \mathcal X^\alpha.</math> Określamy '''grę długości <math>\alpha,</math>, <math>\Game^\mathcal X_\alpha(A)</math> dwóch graczy, I i II, na zbiór <math>A</math> o posunięciach ze zbioru <math>\mathcal X</math>''' jako proces, w wyniku którego dwie osoby konstruują pozaskończony ciąg <math>\eta=\langle\eta(\beta)\colon \beta<\alpha\rangle\in \mathcal X^\alpha</math> o wyrazach w <math>\mathcal X</math> w taki sposób, że po tym jak już <math>\eta\upharpoonright \beta=\langle\eta(\gamma)\colon \gamma<\beta\rangle</math> zostało wybrane, to:

[[Szachy]] są przykładem gry, w której dwóch graczy (''Biała'' i ''Czarny'') wykonuje na przemian posunięcia. Możliwe posunięcia graczy są dokładnie opisane przez [[Zasady gry w szachy|reguły gry]]. Z góry wiadomo też, kiedy ''Biała'' wygrywa partię, a kiedy wygrywa jej oponent. Umówmy się, że zarówno [[pat]], jak i [[wieczny szach]] oznaczają wygraną ''Czarnego'' oraz że partia nie zakończona do 10000 posunięcia również jest uznawana za wygraną przez ''Czarnego''. Dla uproszczenia rozważań każdą pełną partię tej gry będziemy traktować jako ciąg 10000 posunięć (umawiając się, że jeśli na kroku <math>n</math> jeden z graczy wygrywa, to dalsze posunięcia są nieistotne). Spróbujmy opisać, co to znaczy że ''Biała'' ma ''doskonały przepis na grę'' (czyli ''strategię zwycięską''). Taki przepis powinien brać jako daną wejściową historię partii do danego momentu reprezentowaną przez kolejne posunięcia <math>b_1,c_1,b_2,c_2,\dots,b_n,c_n</math> i w odpowiedzi podawać ruch ''Białej'' <math>b_{n+1}.</math> Strategia dla ''Białej'' jest więc funkcją <math>\sigma,</math>, której [[dziedzina|dziedziną]] jest [[zbiór]] wszystkich możliwych częściowych partii parzystej długości <math><10000,</math> a wartościami są posunięcia dozwolone przez reguły gry. Strategia <math>\sigma</math> jest zwycięska dla ''Białej'' jeśli '''każda''' partia <math>\langle b_1,c_1,b_2,c_2,\dots, b_{4999},c_{4999},b_{5000},c_{5000}\rangle</math> spełniająca warunek