Zakaz ukrywania: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Gus~plwiki (dyskusja | edycje) Ukrywanie informacji klasycznej |
Gus~plwiki (dyskusja | edycje) m →Twierdzenie: dowód, drobne redakcyjne |
||
Linia 11:
Aby rozważany proces był fizyczny, musi być [[Przekształcenie liniowe|liniowy]] i unitarny. Z uwagi na liniowość wystarczające jest rozważenie działania tego procesu dla dowolnego [[stan czysty|czystego stanu kwantowego]] <math>\rho_I = |\psi\rangle_I\langle\psi|_I</math>. Unitarność pozwala z kolei na odpowiednie zwiększenie liczby [[kubit]]ów pomocniczych, dzięki czemu rozważany proces ''ukrywający'' można uznać za przekształcenie liniowe stanów czystych w stany czyste, co można wyrazić za pomocą [[Rozkład Schmidta|rozkładu Schmidta]] stanu wyjściowego, jako
:<math>|\psi\rangle_I \rightarrow \sum_k \sqrt{p_k} |k\rangle_O \otimes |A_k(\psi) \rangle_A</math>,
gdzie <math>p_k</math> to niezerowe wartości własne macierzy gęstości <math>\sigma</math>, <math>\{|k\rangle\}</math> to wektory własne tej macierzy i zarówno <math>\{|k\rangle\}</math>, jak i stan pomocniczy <math>\{|A_k\rangle\}</math> stanowią [[Baza ortonormalna|bazy ortonormalne]]. Powyższe przekształcenie zakłada zależność stanu pomocniczego <math>|A_k(\psi)\rangle_A</math> od stanu wejściowego <math>|\psi\rangle</math> (tj. możliwość ukrycia w tej zależności informacji o stanie wejściowym), jednak z uwagi na zakładaną liniowość procesu ''ukrywającego'' stan pomocniczy będzie się składał z ortonormalnego zbioru stanów nawet
:<math>|A_k(\alpha|\psi\rangle+\beta|\psi_\bot\rangle)\rangle=\alpha|A_k(\psi)\rangle+\beta|A_k(\psi_\bot)\rangle</math>
gdzie <math>|\psi_\bot\rangle</math> oznacza dowolny stan ortogonalny do <math>|\psi\rangle</math>. Iloczyn skalarny takich dwóch stanów pomocniczych ''k'', ''l''
:<math>\alpha^{\ast}\beta\langle A_l(\psi)|A_k(\psi_\bot)\rangle + \alpha\beta^{\ast}\langle A_l(\psi_\bot)|A_k(\psi)\rangle = 0</math>
a zatem dla dowolnych amplitud prawdopodobieństwa <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> wszystkie elementy pozadiagonalne muszą być zerowe. Przyjmując ortonormalną bazę <math>\{|\psi_j\rangle, j=1,...,d\}</math> stanu wejściowego można zdefiniować ortonormalną bazę <math>|A_{kj}\rangle \equiv |A_k(\psi_j)\rangle</math> rozpiętą na ''Kd''-wymiarowej przestrzeni Hilberta, która w pełni opisuje zredukowany stan pomocniczy. Ponieważ unitarność pozwala na przekształcenie dowolnej bazy ortonormalnej w inną, tak zdefiniowaną bazę możemy zapisać jako
| |||