Współrzędne uogólnione: Różnice pomiędzy wersjami

'''Współrzędne uogólnione''' – niezależne od siebie wielkości, które jednoznacznie opisują położenie ciała lub układu ciał w przestrzeni<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Współrzędne uogólnione | id = 3998458 | data dostępu = 2021-07-22 }}</ref>. Wielkościami takimi mogą być [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędne kartezjańskie]] – wtedy położenie każdego pojedynczego ciała jednoznacznie opisują trzy współrzędne <math>x, y, z.</math>. Można także stosować [[Układ współrzędnych walcowych|współrzędne walcowe]] <math>z, \rho, \theta,</math>, [[Układ współrzędnych sferycznych|sferyczne]] <math>r, \phi, \theta</math> (np. kąty określające odchylenia wahadła od pionu), jak również współrzędne równe odległości mierzonej wzdłuż zadanych krzywych od ustalonych punktów do miejsca, gdzie znajduje się dane ciało (por. przykład koralik na drucie) itp.

Niech dany będzie układ <math>n</math> cząstek w przestrzeni. Położenie cząstek w chwili <math>t</math> można opisać za pomocą zespołu <math>3n</math> [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędnych kartezjańskich]] <math>x_1, x_2, ..., x_{3n}.</math>. Jeżeli jednak ruch cząstek zostanie ograniczony za pomocą <math>r</math> więzów, to liczba współrzędnych niezbędnych do opisania położenia układu zmniejszy się o <math>r.</math>.

: <math>\varphi_i (x_1, x_2, ..., x_{3n}, t) = 0,\quad i = 1, ..., r.</math>.

: <math>q_i = q_i(x_1, x_2, ..., x_{3n}, t),\quad i = 1, ..., f.</math>.

Współrzędne <math>q_1, q_2, \dots, q_f</math> nazywa się współrzędnymi uogólnionymi. Określają one jednoznacznie położenie układu w chwili <math>t</math> podlegającego działaniu <math>r</math> więzów. Zespół współrzędnych uogólnionych oznacza się pojedynczym symbolem <math>\mathbf{q},</math>, tj.

: <math>\mathbf{q} = (q_1, q_2, ..., q_f).</math>.

: <math>x_j = x_j(q_1, q_2, ..., q_f, t),\quad j = 1, ..., 3n,</math>,

to obliczając pochodną zupełną powyższego wyrażenia względem czasu otrzyma się prędkości <math>\dot x_j,</math>, które zależą od prędkości uogólnionych <math>\dot{q}_l</math>

: <math>\dot x_j = \sum_{l=1}^f \frac{\partial x_j}{\partial q_l}\dot{q}_l + \frac{\partial x_j}{\partial t},\quad j = 1, ..., 3n.</math>.

[[Plik:Bead on wire constraint.svg|mały|200x200px|Współrzędna uogólniona <math>s,</math>, równa odległości koralika od ustalonego punktu. (Siły działające na koralik: N – siła grawitacji, C – siła reakcji druta.)]]

Koralik ślizga się bez tarcia po drucie, tworzącym krzywą płaską, podlegając działaniu siły grawitacji. Problem polega na wyznaczeniu położenia koralika w chwili <math>t.</math>.

: <math>\mathbf{r}(t)=[x(t), y(t), z=0].</math>.

: <math>\phi_1(x,y,z) = 0,</math>,

: <math>\phi_2(x,y,z) = 0.</math>.

Jeżeli krzywa leży w płaszczyźnie <math>z=const,</math>, to współrzędna <math>s</math> jest funkcją jedynie współrzędnych kartezjańskich <math>x, y</math>:

: <math>s = s(x,y).</math>.

: <math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}.</math>.

Z równania więzów wynika, że <math>y = y(x),</math>, co implikuje zależność <math>dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) dx;</math> podstawiając ostatnie wyrażenie do wzoru na <math>ds</math> otrzyma się zależność <math>ds</math> jedynie od <math>dx</math>

: <math>ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx.</math>.

: <math>s = \int ds =\int_0^x \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx.</math>.

Np. gdy krzywa ma kształt [[Parabola (matematyka)|paraboli]] leżącej w płaszczyźnie <math>z=0,</math>, to mamy równania

: <math>\phi_1(x,y,z)=y -a x^2 = 0,</math>,

: <math>\phi_2(x,y,z) = z=0.</math>.

: <math>s(x) = \int_0^x \sqrt{1 + \left(ax\right)^2}dx.</math>.

Obliczając powyższą całkę dla danej wartości <math>x</math> otrzyma się jednoznaczną wartość współrzędnej uogólnionej <math>s.</math>. Widać stąd, że do opisania położenia ciała, którego ruch ograniczony jest do krzywej płaskiej, wystarczy tylko jedna współrzędna <math>s</math> zamiast dwóch współrzędnych <math>x, y.</math>.

Analogiczny wniosek dotyczy poruszania się ciała po krzywej w przestrzeni 3D – tu zamiast trzech współrzędnych <math>x, y, z</math> wystarczy także podanie jednej współrzędnej uogólnionej <math>s.</math>.

: <math>T = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^n m_k \dot\mathbf{r}_k \cdot \dot\mathbf{r}_k.</math>.

: <math>\mathbf{r}_k= (x_k,y_k,z_k),</math>, <math>k = 1, ..., n,</math>,

: <math>\mathbf{v}_k \equiv {\dot \mathbf{r}}_k=(\dot x_k,\dot y_k,\dot z_k).</math>.

: <math>\dot\mathbf{r}_k\cdot \dot\mathbf{r}_k = (\dot x_k,\dot y_k,\dot z_k) \cdot (\dot x_k,\dot y_k,\dot z_k) = \dot{x_k}^2 + \dot{y_k}^2 + \dot{z_k}^2,</math>,

to otrzyma się (zastępując oznaczenia współrzędnych <math>x_1, y_1,z_1,\dots, x_n, y_n, z_n,</math>, przez <math>x_1, x_2, ..., x_{3n}</math>)

: <math>T = \frac {1}{2} \sum_{i=1}^{3n} m_i \dot{x}_i^2.</math>.

: <math>\mathbf{r}_k= \mathbf{r}_k(q_1, q_2, ..., q_f, t),\quad k = 1, ..., n,</math>,

: <math>\dot\mathbf{r}_k \cdot \dot\mathbf{r}_k = \sum_{i,j=1}^f \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right)\dot{q}_i\dot{q}_j + \sum_{i=1}^f \left(2\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t}\right) \dot{q}_i + \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t}\right),</math>,

co oznacza, że energia kinetyczna będzie zależeć od współrzędnych uogólnionych <math>{q}_i,</math>, prędkości uogólnionych <math>\dot {q}_i</math> i czasu – jeżeli więzy będą zależeć od czasu, czyli <math>T=T(\mathbf{q},\dot\mathbf{q},t).</math>.

Jeżeli jednak więzy będą stałe w czasie, to wszystkie pochodne cząstkowe po czasie będą zerować się – wtedy energia kinetyczna będzie funkcją współrzędnych uogólnionych, funkcją jednorodną kwadratową prędkości uogólnionych <math>\dot {q}_i,</math>, niezależną jawnie od czasu, gdyż

: <math>\dot\mathbf{r}_k\cdot \dot\mathbf{r}_k = \sum_{i,j=1}^f \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right) \dot{q}_i \dot{q}_j.</math>.

: <math>ds_k^2 = d\mathbf{r}_k\cdot d\mathbf{r}_k = \sum_{i,j=1}^f \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right) dq_i dq_j,</math>,

gdyż dzieląc powyższe wyrażenie przez <math>dt^2</math> otrzyma się kwadrat prędkość <math>k</math>-tej cząstki <math>\dot\mathbf{r}_k\cdot \dot\mathbf{r}_k.</math>. Dla więzów niezależnych od czasu wystarczy więc znać element liniowy trajektorii cząstki, aby obliczyć jej energię kinetyczną{{odn|Landau|Lifszyc|1976|s=8}}.

3) we współrzędnych cylindrycznych <math>(z, \rho, \theta),</math>,

Powyższe przykłady pokazują, że jeżeli współrzędne uogólnione nie zależą jawnie od czasu, to energia kinetyczna jest [[Funkcja jednorodna|funkcją jednorodną kwadratową]] (funkcją jednorodną stopnia 2) prędkości uogólnionych, np. <math>\dot z, \dot \rho, \dot r,\dot \phi, \dot \theta</math> – podobnie jak w przypadku współrzędnych kartezjańskich – jednakże energia kinetyczna zależy tu ponadto od współrzędnych uogólnionych, np. w powyższych przykładach od <math>\rho, r, \phi, \theta.</math>.

We współrzędnych uogólnionych definiuje się tzw. pęd uogólniony <math>p_i</math> sprzężony kanonicznie ze współrzędną uogólnioną <math>q_i,</math>, który oblicza się jako pochodną [[lagranżjan]]u po pochodnej czasowej <math>\dot q_i</math> tej współrzędnej

: <math>p_i =\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.</math>.

Jeżeli lagranżjan nie zależy od współrzędnej <math>q_i,</math>, to

i z [[Równania Eulera-Lagrange’a|równań Eulera-Lagrange’a]] wynika, że pochodna czasowa pędu uogólnionego będzie równa <math>0,</math>,

: <math>\dot{p}_i = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}=0,</math>,