Delta Diraca: Różnice pomiędzy wersjami

Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako [[Teoria dystrybucji|dystrybucję]] <math>\delta \colon C_0^\infty (\mathbb R) \to \mathbb R,</math>, tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem:

: <math>\delta(A) := \begin{cases} 1, & 0 \in A \\ 0, & 0 \notin A \end{cases},</math>,

Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca. {{Zobacz też|Całka Lebesgue’a}}Całkę funkcji <math>f</math> względem miary <math>\mu</math> po zbiorze <math>A</math> oznacza się często <math>\int_A f(x) \mu (\text {d}x)</math><ref>{{Cytuj|autor=J. Jakubowski, R. Sztencel|tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa|data=2010|wydanie=IV|miejsce=Warszawa|wydawca=SCRIPT|s=361}}</ref>, dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text {d}x)</math> na całkę funkcji <math>f</math> względem delty Diraca po <math>\mathbb R.</math>.

* <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text {d} x )=f(0),</math>,

* <math>\int_\mathbb R \delta (\text{d}x)=1.</math>.

Gdy <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R_+</math> jest [[Funkcja prosta|funkcją prostą]], tzn. <math>f=\sum_{i=1}^n c_i \chi_{A_i},</math>, to bez straty ogólności możemy założyć, że <math>0\in A_j,\ 1 \leqslant j \leqslant n.</math>. Wtedy

: <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text{d}x )=\int_\mathbb R \sum_{i=1}^n c_i\chi_{A_i}(x) \delta (\text {d}x)=\sum_{i=1}^n c_i \delta (A_i)=c_j=f(0).</math>.

Gdy <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R_+</math> jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych <math>(f_n)_n.</math>. Wtedy korzystając z poprzedniego kroku

: <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text {d} x)=\lim_{n \to \infty} \int_\mathbb R f_n (x)\delta (\text {d} x)=\lim_{n\to \infty} f_n (0)=f(0).</math>.

Gdy <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> jest dowolną funkcją mierzalną, to <math>f=f_+-f_-,</math>, gdzie

: <math>f_+(x) := \begin{cases} f(x), & f(x) \geqslant 0 \\ 0, & f(x) < 0 \end{cases},</math>,

: <math>f_-(x) := \begin{cases} -f(x), & f(x) < 0 \\ 0, & f(x) \geqslant 0 \end{cases}.</math>.

: <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text {d}x )=\int_\mathbb R f_+(x)\delta (\text {d}x)-\int_\mathbb R f_-(x)\delta (\text {d}x)=f_+(0)-f_-(0)=f(0),</math>,

: <math>\int_\mathbb R \delta (\text{d}x)=1.</math>.

Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę <math>\delta_a \colon \mathcal B (\mathbb R) \to \mathbb R_+</math> daną wzorem <ref name=":1" />:

: <math>\delta_a(A) := \begin{cases} 1, & a \in A \\ 0, & a \notin A \end{cases}.</math>.<ref name=":1" />

: <math>\int_\mathbb R f(x) \delta_a (\text{d}x)=f(a).</math>.

Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w [[statyka|statyce]] – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili <math>t = 0,</math>, o nieskończenie dużej [[amplituda|amplitudzie]] i polu równym 1.