Mechanika Lagrange’a: Różnice pomiędzy wersjami

: <math>L = T - V,</math>,

Liczba współrzędnych, potrzebnych do określenia ruchu dowolnego układu, jest równa liczbie <math>f</math> ''[[Stopień swobody (fizyka)|stopni swobody]]'' układu. Współrzędne uogólnione oznaczane są zwyczajowo symbolami <math>q_i, i=1,2,\dots, f,</math>, zaś prędkości uogólnione (czyli pochodne po czasie współrzędnych <math>q_i</math>) oznacza się symbolami <math>\dot{q_i}.</math>.

Jeżeli układ poddany jest więzom, to liczba stopni swobody układu jest mniejsza od liczby współrzędnych kartezjańskich, za pomocą których można opisać układ. Np. układ złożony z <math>N</math> ciał poruszających się bez więzów w przestrzeni 3-wymiarowej miałby <math>3N</math> współrzędnych kartezjańskich (np. Słońce, [[Planeta|planety]], ich księżyce, komety, i inne obiekty tworzące [[Układ Słoneczny]]). Jeżeli jednak rozważymy układ z więzami, to liczba stopni swobody zmniejszy się. Np. [[cząsteczka]] {{chem2|C2H5OH}} składa się z 9 atomów związanych mocno ze sobą; liczba stopni swobody jest mniejsza niż <math>27,</math>, tym mniejszą, im niższą ma temperaturę; w niskiej temperaturze zanikną np. ruchy związane z jej obrotami czy [[Drgania własne cząsteczki|drganiami]].

'''(1)''' '''Równania Lagrange’a pierwszego rodzaju'''<ref name="Dvorak">{{cytuj książkę |autor = R. Dvorak, Florian Freistetter |tytuł = Chaos and stability in planetary systems |url = http://books.google.com/books?id=shYNuW0B0fsC&pg=PA24 |rozdział = § 3.2 Lagrange equations of the first kind |strony = 24 |isbn = 3-540-28208-4 |rok = 2005 |wydawca = Birkhäuser}}</ref>

– zapisuje się w nich wszystkie siły, jakie działają na układ, tj. zarówno siły pól fizycznych, działających na układ, jaki i siły reakcji [[Więzy|więzów]], ograniczających ruch układu; w równaniach tych używa się tzw. [[Mnożniki Lagrange’a|mnożników Lagrange’a]]<ref name="Haken">{{cytuj książkę |autor = H Haken |tytuł = Information and self-organization |url = http://books.google.com/books?id=tAfj4-xzyGwC&pg=PA61 |strony = 61 |isbn = 3-540-33021-6 |rok = 2006 |wydanie = 3 |wydawca = Springer}}</ref><ref name="Lanczos">{{cytuj książkę |autor = Cornelius Lanczos |tytuł = The variational principles of mechanics |url = http://books.google.com/books?id=ZWoYYr8wk2IC&pg=PA43 |strony = 43 |rozdział = II § 5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method |isbn = 0-486-65067-7 |wydawca = Courier Dover |rok = 1986 |wydanie = Reprint of University of Toronto 1970 4th}}</ref>

: <math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \quad i=1,2,\dots,f,</math>,

W równaniach Lagrange’a drugiego rodzaju unika się uwzględniania sił reakcji więzów poprzez odpowiedni wybór układu współrzędnych uogólnionych<ref name="Dvorak" /><ref name="Menzel">{{cytuj książkę |autor = Henry Zatzkis |tytuł = Fundamental formulas of physics |url = http://books.google.com/books?id=QgswE2BicW4C&pg=PA160 |inni = DH Menzel (edytor) |data = 1960 |wydawca = Courier Dover |strony = 160 |rozdział = § 1.4 Lagrange equations of the second kind |isbn = 0-486-60595-7 |inniwydanie =DH Menzel (edytor) |wydanie=2}}</ref>. Z rozwiązania tych równań otrzymuje się trajektorię układu fizycznego.

: <math>m\frac{d^2x(t)}{d t^2}=F_x,</math>,

: <math>m\frac{d^2y(t)}{d t^2}=F_y,</math>,

gdzie <math>x(t), y(t)</math> – [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędne kartezjańskie]] wektora położenia ciała w płaszczyźnie w chwili czasu <math>t,</math>,<math>F_x(x,y,t), F_y(x,y,t)</math> – współrzędne kartezjańskie wektora wypadkowej siły, działającej na cząstkę (zależne w ogólności od położenia cząstki w płaszczyźnie i od czasu).

Rozwiązanie tych równań wymaga podania tzw. ''warunków początkowych'', tj. wektorów położenia <math>\mathbf{r_0}=[x_0, y_0]</math> oraz prędkości <math>\mathbf{v_0}=[v_{x0}, v_{y0}],</math>, jakie ciało miało w pewnej ''chwili początkowej'' <math>t_0.</math>. Z rozwiązania tych równań otrzymamy zależności <math>x(t), y(t),</math>, określające położenie ciała w dowolnej chwili.

Jeżeli na ciało działa siła stała w czasie, jak w powyżej podanych przykładach, to zagadnienie nie jest trudne do rozwiązania. Jednakże problem komplikuje się, jeżeli ruch jest ograniczony za pomocą jakiś [[Więzy|więzów]]. Np. gdy ciało zawieszone jest na nierozciągliwej nici, tworząc [[wahadło]], to oprócz stałej w czasie siły grawitacji na ciało działa siła ze strony nici, trzymająca ciało w niezmiennej odległości od punktu zaczepienia – siła ta zmienia się w zależności od kąta odchylenia nici od pionu. Zapisanie równań ruchu we współrzędnych kartezjańskich (metoda Newtona) prowadzi do złożonych równań różniczkowych. Dlatego wygodniejsze jest użycie metody Lagrange’a, tj. zapisanie równań ruchu w tzw. [[Współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] – w tym wypadku wyrażenie położenia ciała w zależności od kąta odchylenia nici od pionu <math>\theta.</math>. Dzięki temu zamiast dwóch nieznanych funkcji <math>x(t), y(t)</math> szukamy jednej funkcji <math>\theta(t).</math>.

: <math>\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+\frac{g}{\ell} \sin\theta(t)=0,</math>,

* <math>\theta(t)</math> – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili <math>t,</math>,

'''(1)''' Przyjmujemy jako współrzędną uogólnioną kąta odchylenia nici od pionu <math>\theta.</math>.

: <math>ml^2\ddot\theta+mgl \sin(\theta)=0.</math>.

* [[zasada Lagrange'aLagrange’a]]

* [[Wojciech Królikowski|W. Królikowski]], [[Wojciech Rubinowicz|W. Rubinowicz]],&nbsp;''Mechanika teoretyczna,'' PWN, Warszawa 2012.

* [[Lew Landau|Landau, L.D.]], J. M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa 2011.

* Feynman Richard P., Leighton Robert B., Matthew Sands, Wykłady z fizyki, t. II, cz. 1Warszawa, PWN 2019.

* {{Cytuj książkę |nazwisko = Goldstein |imię = Herbert |tytuł = Classical Mechanics |wydanie = 3| |strony = |wydawca = Addison-Wesley |rok = 2001 |odn = tak}}

* {{Cytuj książkę |nazwisko = Torby |imię = Bruce |tytuł = Advanced Dynamics for Engineers |wydawca = CBS College Publishing |miejsce = United States of America |rok = 1984 |seria = HRW Series in Mechanical Engineering |isbn = 0-03-063366-4 |język = en |odn = tak}}

* Feynmann, R., [http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html Feynmann lectures -– The Principle of Least Action]

* Tong, David: ''[http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Dynamika klasyczna]'' – notatki z wykładu w Cambridge {{lang|en}}