Jego ojciec, Mariusz był zawodnikiem [[Gwardia Koszalin|Gwardii Koszalin]], a matka, Izabela zawodniczką [[sumojudo]]<ref>{{Cytuj |autor = Marek Wawrzynowski |tytuł = Nowy reprezentant Kacper Kozłowski. Uzależniony od piłki |data = 2021-03-05 |data dostępu = 2021-03-15 |opublikowany = sportowefakty.wp.pl |url = https://sportowefakty.wp.pl/pilka-nozna/927228/nowy-reprezentant-kacper-kozlowski-uzalezniony-od-pilki |język = pl}}</ref>. 10 stycznia 2020 znajdował się w samochodzie uczestniczącym w wypadku. W jego wyniku doznał złamania trzech kręgów lędźwiowych kręgosłupa i nie mógł występować do końca rundy wiosennej sezonu [[Ekstraklasa w piłce nożnej (2019/2020)|2019/2020]]<ref>{{Cytuj |autor = Sebastian Szczytkowski |tytuł = PKO Ekstraklasa. Kacper Kozłowski może trenować. Piłkarz stracił całą rundę przez wypadek samochodowy |data = 2020-06-20 |data dostępu = 2020-12-25 |opublikowany = sportowefakty.wp.pl |url = https://sportowefakty.wp.pl/pilka-nozna/887485/pko-ekstraklasa-kacper-kozlowski-moze-trenowac-pilkarz-stracil-cala-runde-przez- |język = pl}}</ref><ref>{{Cytuj |tytuł = Smokowski: 17-letni Kozłowski ma bezczelność, jaką widać u piłkarzy Liverpoolu |data = 2020-12-21 |data dostępu = 2021-06-19 |opublikowany = sport.onet.pl |url = https://sport.onet.pl/pilka-nozna/kacper-kozlowski-to-najwiekszy-talent-pogoni-szczecin-kim-jest-misja-futbol-i-jej/979m3dw |język = pl}}</ref>.
