Kąt wpisany: Różnice pomiędzy wersjami

 

'''Twierdzenie 1'''

 

''Jeśli wierzchołek kąta leży na zewnątrz okręgu, a oba jego ramiona mają punkty wspólne z tym okręgiem, to miara tego kąta jest równa połowie różnicy między kątem środkowym opartym na łuku dalszym a kątem środkowym opartym na łuku bliższym.''

'''Dowód.''' Niech oba ramiona kąta <math>\gamma</math> przecinają okrąg o środku ''A'' i promieniu ''r''. Niech jedno ramię przecina okrąg w punktach ''C'' i ''D'', a drugie w punktach ''B'' i ''D'' (jak na rysunku). Niech ''F'' będzie wierzchołkiem tego kąta, <math>\alpha_1 = \angle BAD</math> i <math>\beta_1 = \angle CAE</math> są kątami środkowymi opartymi na łukach ''BD'' i ''CE''. Ponadto kąty <math>\alpha = \angle BCD</math> oraz <math>\beta = \angle CBE</math> są kątami wpisanymi opartymi odpowiednio na łukach BD i CE, czyli <math>\alpha = 0,5 \cdot \alpha_1</math> i <math>\beta = 0,5 \cdot \beta_1.</math> Z twierdzenia o kącie zewnętrznym wynika, że <math>\beta = \alpha + \gamma,</math> czyli

: <math>\gamma = \beta - \alpha = \frac{1}{2} \cdot (\beta_1 - \alpha_1),</math>