Term: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 3 bajty ,  1 miesiąc temu
m
drobne redakcyjne
m (int.)
m (drobne redakcyjne)
 
'''Term''' ('''formuła nazwowa''') – wyrażenie składające się ze zmiennych oraz symboli funkcyjnych o dowolnej [[argumentowość|argumentowości]] (w tym o argumentowości 0, czyli [[stała (matematyka)|stałych]]) z pewnego ustalonego zbioru.
 
W wielu dziedzinach matematyki używa się określenia ''term'' na oznaczenie napisów (wyrażeń) formalnych, które mogą być traktowane jako ''nazwy'' na obiekty matematyczne. W większości przypadków znaczenie to można przedstawić jako '''termy w pewnym języku pierwszego rzędu''', opisane poniżej.
 
== Termy w logice matematycznej ==
=== Termy języków pierwszego rzędu ===
Niech <math>\tau</math> będzie alfabetem języka [[Rachunek predykatów pierwszego rzędu|pierwszego rzędu]] <math>\mathcal L(\tau).</math> Tak więc <math>\tau</math> jest zbiorem '''stałych''', '''[[symbol funkcyjny|symboli funkcyjnych]]''' i '''[[symbol relacyjny|symboli relacyjnych]]''' ('''predykatów'''). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną [[Argumentowość|arność]] (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Język <math>\mathcal L(\tau)</math> ma też ustaloną nieskończoną listę '''zmiennych''' (zwykle <math>x_0,x_1,\dots</math>)<ref>Rautenberg W. Rautenberg (2010) [https://www.springer.com/gp/book/9781441912206 A Concise Introduction to Mathematical Logic] </ref>.
 
'''Termy''' języka <math>\mathcal L(\tau)</math> to elementy najmniejszego zbioru <math>\mathbf T</math> takiego, że:
* wszystkie stałe i zmienne należą do <math>\mathbf T,</math>
* jeśli <math>t_1,\dots,t_n\in \mathbf T</math> i <math>f\in\tau</math> jest <math>n</math>-arnym symbolem funkcyjnym, to <math>f(t_1,\dots,t_n)\in \mathbf T.</math>
 
=== Termy boole’owskie ===
W teorii [[forsing]]u rozważa się '''termy boole’owskie''' wprowadzane następująco. Niech <math>\mathbb B=(B,+,\cdot,\sim,\mathbf 0,\mathbf 1)</math> będzie [[Algebra Boole’a#Zupełne algebry Boole'a|zupełną algebrą Boole’a]]. Przez [[indukcja pozaskończona|indukcję]] po wszystkich [[liczby porządkowe|liczbach porządkowych]] <math>\alpha</math> definujemy zbiory <math>\mathbf V^\mathbb B_\alpha</math> złożone z '''termów boole’owskich rangi <math>\alpha</math>''':
* <math>\mathbf V^\mathbb B_0=\emptyset,</math>
* <math>\mathbf V^\mathbb B_\alpha=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}\mathbf V^\mathbb B_\beta</math> gdy <math>\alpha</math> jest liczbą [[graniczna liczba porządkowa|graniczną]],
* <math>\mathbf V^\mathbb B_{\alpha+1}</math> jest zbiorem wszystkich [[Funkcja|funkcji]] <math>t,</math> których [[dziedzina (matematyka)|dziedzina]] <math>\mathrm{dom}(t)</math> jest podzbiorem <math>\mathbf V^\mathbb B_\alpha,</math> a wartości należą do algebry <math>\mathbb B.</math>
 
Kładziemy też <math>\mathbf V^\mathbb B=\bigcup\limits_{\alpha\in{\mathbf{ON}}}\mathbf V^\mathbb B_\alpha.</math>