Warunek Lipschitza: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
najpierw przykłady, potem własności, jak chyba przeważnie na wykładach |
najpierw własności każdej funkcji lipschitzowskiej, a potem warunki wystarczające i inne fakty |
||
Linia 23:
== Podstawowe własności ==
*
:: ''Dowód''. Niech <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą <math>L.</math> Niech <math>x_1, x_2 \in \mathbb{R}</math> oraz niech dany będzie <math>\varepsilon > 0.</math> Gdy <math>\delta = \varepsilon / L,</math> to <math>|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant L |x_1 - x_2| \leqslant L \varepsilon / L = \varepsilon</math> o ile tylko <math>|x_1 - x_2| \leqslant \delta.</math> Rozumowanie to przenosi się ''[[mutatis mutandis]]'' na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.▼
* Niech <math>f\colon (a, b) \to \mathbb{R}</math> będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas <math>f</math> spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza <math>L</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jej [[Pochodna funkcji|pochodna]] jest ograniczona przez <math>L.</math>
Linia 32 ⟶ 35:
::: <math>|f(x_2)-f(x_1)| = |f'(c)|\,|x_2-x_1| \leqslant L|x_2-x_1|,</math>
:: co pokazuje, że <math>f</math> spełnia warunek Lipschitza ze stałą <math>L.</math>
▲* Funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest [[funkcja jednostajnie ciągła|funkcją jednostajnie ciągłą]].
▲:: ''Dowód''. Niech <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą <math>L.</math> Niech <math>x_1, x_2 \in \mathbb{R}</math> oraz niech dany będzie <math>\varepsilon > 0.</math> Gdy <math>\delta = \varepsilon / L,</math> to <math>|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant L |x_1 - x_2| \leqslant L \varepsilon / L = \varepsilon</math> o ile tylko <math>|x_1 - x_2| \leqslant \delta.</math> Rozumowanie to przenosi się ''[[mutatis mutandis]]'' na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.
* Niech <math>(\Omega, \mu)</math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzenią z miarą]] oraz niech <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> będzie ciągiem [[Zbiór miary zero|funkcji rzeczywistych]] na <math>\Omega.</math> Jeżeli ciąg ten jest [[zbieżność według miary|zbieżny według miary]] do pewnej funkcji <math>f</math> oraz funkcja <math>g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> spełnia warunek Lipschitza, to ciąg <math>(g \circ f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> jest zbieżny według miary do <math>g \circ f.</math>
| |||