Automorfizm: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Własności: drobne redakcyjne |
m drobne redakcyjne |
||
Linia 1:
{{TOCright}}'''Automorfizm''' – [[izomorfizm]] [[struktura matematyczna|struktury matematycznej]] <math>\mathcal A</math> na siebie, czyli jej [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczny]] [[endomorfizm]]. W pewnym sensie jest to [[symetria]] obiektu – sposób [[funkcja (matematyka)|odwzorowania]] obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury.
==Definicja==
Ścisła definicja automorfizmu zależy od rodzaju „obiektu matematycznego” oraz od tego czym jest „izomorfizm” danego obiektu. Najogólniejszym spojrzeniem na to pojęcie jest [[abstrakcja|abstrakcyjna]] gałąź [[matematyka|matematyki]] zwana [[teoria kategorii|teorią kategorii]], która zajmuje się abstrakcyjnymi obiektami i [[morfizm]]ami między nimi.
W teorii kategorii '''automorfizm''' to endomorfizm (morfizm obiektu na siebie samego) będący zarazem izomorfizmem (w teorikategoryjnym sensie znaczenia).
Powyższa definicja jest wyjątkowo abstrakcyjna, gdyż morfizmy w teorii kategorii nie muszą być nawet funkcjami, zaś obiekty [[zbiór|zbiorami]]. Jednak w większości zastosowań obiekty będą zbiorami z dodatkową strukturą, zaś morfizmy funkcjami zachowującymi te struktury.
W kontekście [[algebra|algebry abstrakcyjnej]] obiektami matematycznymi są przykładowo [[grupa (matematyka)|grupy]], [[pierścień (matematyka)|pierścienie]], czy [[przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]]. Izomorfizmem jest wówczas [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczne]] [[homomorfizm]]y (oczywiście definicja homomorfizmu zależy od typu struktury, zobacz: [[morfizmy grup#Homomorfizm|homomorfizm grup]], [[morfizmy pierścieni#Homomorfizm|homomorfizm pierścieni]], [[przekształcenie liniowe]]).
==Grupa automorfizmów==
Zbiór wszystkich automorfizmów struktury <math>\mathcal A</math> z działaniem [[złożenie funkcji|składania odwzorowań]] jako grupowe, operatorem [[funkcja odwrotna|funkcji odwrotnej]] jako operatorem brania [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] i [[odwzorowanie tożsamościowe|odwzorowaniem tożsamościowym]] pełniącym rolę [[element neutralny|elementu neutralnego]] tworzy [[grupa (matematyka)|grupę]] zwaną '''grupą automorfizmów''' struktury <math>\mathcal A
Grupa ta jest dobrze określona, gdyż:
* <math>\circ</math> zastosowane do dwóch endomorfizmów pozostaje endomorfizmem (zbiór jest zamknięty ze względu na to działanie),
* <math>\circ</math> jest ''zawsze'' [[łączność (matematyka)|łączne]],
* <math>id</math> jest morfizmem identycznościowym obiektu na siebie (istnieje z definicji),
* <math>\;^{-1}</math> – z definicji izomorfizm posiada funkcję odwrotną będącą izomorfizmem będącym zarazem endomorfizmem, stąd funkcja odwrotna jest jej automorfizmem.
Grupę automorfizmów <math>\mathcal A</math> oznacza się <math>\operatorname{Aut}(\mathcal A) := (\mathcal A, \circ, \;^{-1}, id)</math>. W pewnym sensie pojęcie to jest podobne konceptu [[grupa symetrii|grupy symetrii]] tego obiektu.
==Automorfizmy wewnętrzne==
Odwzorowanie <math>f
==Własności==
Linia 12 ⟶ 29:
==Przykłady==
* Jedynym automorfizmem każdego [[ciało proste|ciała prostego]] jest [[funkcja identycznościowa|tożsamość]].
* Jedynym automorfizmem [[liczby rzeczywiste#
* Jedynymi ciągłymi automorfizmami [[liczby zespolone|ciała liczb zespolonych]] są tożsamość i [[liczba sprzężona|sprzężenie zespolone]]. Jest natomiast [[zbiór nieskończony|nieskończenie wiele]] nieciągłych automorfizmów ciała liczb zespolonych. Dokładniej, [[moc zbioru|moc tego zbioru]] wynosi <math>2^\mathfrak c</math>.
==Zobacz też==
Linia 22 ⟶ 38:
* [[izomorfizm]].
[[
[[ca:Automorfisme]]
| |||