Iloczyny grup: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Linia 34:
== Iloczyn półprosty ==
'''Iloczynem (produktem) półprostym''' grup <math>N</math> i <math>D</math>, oznaczanym przez <math>N \rtimes_{\varphi} D</math> lub <math>N \rtimes D</math>, nazywamy grupę składająca się elementów <math>(n, d),\; n \in N, d \in D</math> wraz z działaniem określonym wzorem
:<math>(n_1, d_1)(n_2, d_2) = \left(n_1 \varphi_{d_1}(n_2), d_1 d_2\right)</math>,
oraz odwrotnością daną przez
:<math>(n, d)^{-1} = \left(\varphi_{d^{-1}}(n^{-1}), d^{-1}\right)
gdzie <math>\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N</math> jest [[morfizmy grup#Homomorfizm|homomorfizmem]] grupy <math>D</math> w [[automorfizm#Grupa automorfizmów|grupę automorfizmów]] grupy <math>N</math>.
=== Iloczyn półprosty wewnętrzny ===
Niech <math>N</math> będzie [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] w <math>G</math>. '''Dopełnieniem normalnym''' <math>D</math> podgrupy <math>N</math> w <math>G</math> nazywamy zbiór spełniający warunki <math>N \cap D = \{1\}</math> oraz <math>ND = G</math>. Wówczas zachodzi <math>N \rtimes_\varphi D = G</math>, gdzie <math>\varphi_d(n) = dnd^{-1}</math>.
Grupa automorfizmów jest tutaj w istocie grupą [[Automorfizm#Automorfizmy wewnętrzne|automorfizmów wewnętrznych]], z tego powodu taki iloczyn półprosty nazywa się '''iloczynem półprostym wewnętrznym'''.
Linia 46:
=== Przykłady ===
* [[Grupa diedralna]] rzędu <math>2n</math> jest iloczynem półprostym wewnętrznym <math>D_{2n} = \mathbb Z_n \ltimes \mathbb Z_2</math>.
* Grupa [[izometria|izometrii]] przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> jest iloczynem półprostym grupy [[obrót|obrotów]] oraz symetrii z grupą [[translacja (matematyka)|translacji]].
==Bibliografia==
| |||