Tabele współczynników Clebscha-Gordana używa się do dodawania stanów kwantowych operatora momentu pędu. Znak współczynników dla danego zestawy liczb
j
1
,
j
2
,
j
{\displaystyle j_{1},j_{2},j}
jest do pewnego stopnia dowolny i został ustalony zgodnie z konwencją Condona-Shortlego i Wignera.
Sprzężenie stanów
j
1
=
1
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1/2,\ j_{2}=1/2}
edytuj
Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych
j
1
=
1
/
2
,
j
2
=
1
/
2.
{\displaystyle j_{1}=1/2,j_{2}=1/2.}
(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości
j
,
m
,
m
1
,
m
2
.
{\displaystyle j,m,m_{1},m_{2}.}
(2) Współczynniki C-G dla danych wartości
j
,
m
{\displaystyle j,m}
i wartości
m
1
,
m
2
{\displaystyle m_{1},m_{2}}
są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami
j
,
m
{\displaystyle j,m}
oraz wiersza w wartościami
m
1
,
m
2
{\displaystyle m_{1},m_{2}}
– podano je wytłuszczonym drukiem. Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy , zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem.
j
1
=
1
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1/2,\ j_{2}=1/2}
j
1
m
1
m1, m2
+1/2, +1/2
1
cd.
j
1
=
1
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1/2,\ j_{2}=1/2}
j
1
m
−1
m1, m2
−1/2, −1/2
1
cd.
j
1
=
1
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1/2,\ j_{2}=1/2}
j
1
0
m
0
0
m1, m2
1/2, −1/2
1/2
1/2
m1, m2
−1/2, 1/2
1/2
−1/2
Sprzężenie stanów
j
1
{\displaystyle j_{1}}
– dowolna liczba,
j
2
=
0
{\displaystyle j_{2}=0}
edytuj
j
1
=
j
,
j
2
=
0
{\displaystyle j_{1}=j,\ j_{2}=0}
j
j
m
m1
m1, m2
m1, 0
1
czyli mamy:
|
j
1
,
m
1
⟩
|
0
,
0
⟩
=
|
j
1
,
m
1
⟩
{\displaystyle |j_{1},m_{1}\rangle |0,0\rangle =|j_{1},m_{1}\rangle }
Sprzężenie stanów
j
1
=
1
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1/2}
edytuj
j
1
=
1
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1/2}
j
3/2
m
+3/2
m1, m2
+1, +1/2
1
cd.
j
1
=
1
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1/2}
j
3/2
1/2
m
+1/2
+1/2
m1, m2
1, −1/2
1/3
2/3
m1, m2
0, +1/2
2/3
−1/3
cd.
j
1
=
1
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1/2}
j
3/2
1/2
m
−1/2
−1/2
m1, m2
0, −1/2
2/3
1/3
m1, m2
−1, +1/2
1/3
−2/3
cd.
j
1
=
1
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1/2}
j
3/2
m
−3/2
m1, m2
−1, −1/2
1
Sprzężenie stanów
j
1
=
1
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1}
edytuj
j
1
=
1
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1}
j
2
m
2
m1, m2
+1, +1
1
cd.
j
1
=
1
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1}
j
2
1
m
+1
+1
m1, m2
+1, 0
1/2
1/2
m1, m2
0, +1
1/2
−1/2
cd.
j
1
=
1
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1}
j
2
1
0
m
0
0
0
m1, m2
+1, −1
1/6
1/2
1/3
m1, m2
0, 0
2/3
0
−1/3
m1, m2
−1, +1
1/6
−1/2
1/3
cd.
j
1
=
1
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1}
j
2
1
m
−1
−1
m1, m2
0, −1
1/2
1/2
m1, m2
−1, 0
1/2
−1/2
cd.
j
1
=
1
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=1,\ j_{2}=1}
j
2
m
−2
m1, m2
−1, −1
1
Sprzężenie stanów
j
1
=
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1/2}
edytuj
j
1
=
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1/2}
j
5/2
m
+5/2
m1, m2
+2, +1/2
1
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1/2}
j
5/2
3/2
m
+3/2
+3/2
m1, m2
+2, −1/2
1/5
4/5
m1, m2
+1, +1/2
4/5
−1/5
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1/2}
j
5/2
3/2
m
+1/2
+1/2
m1, m2
1, −1/2
2/5
3/5
m1, m2
0, +1/2
3/5
−2/5
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1/2}
j
5/2
3/2
m
−1/2
−1/2
m1, m2
0, −1/2
3/5
2/5
m1, m2
−1, +1/2
2/5
−3/5
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1/2}
j
5/2
3/2
m
−3/2
−3/2
m1, m2
−1, −1/2
4/5
1/5
m1, m2
−2, +1/2
1/5
−4/5
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1/2}
j
5/2
m
−5/2
m1, m2
−2, −1/2
1
Sprzężenie stanów
j
1
=
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1}
edytuj
j
1
=
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1}
j
3
m
+3
m1, m2
+2, +1
1
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1}
j
3
2
m
+2
+2
m1, m2
+2, 0
1/3
2/3
m1, m2
+1, +1
2/3
−1/3
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1}
j
3
2
1
m
+1
+1
+1
m1, m2
+2, −1
1/15
1/3
3/5
m1, m2
+1, 0
8/15
1/6
−3/10
m1, m2
0, +1
2/5
−1/2
1/10
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1}
j
3
2
1
m
0
0
0
m1, m2
+1, −1
1/5
1/2
3/10
m1, m2
0, 0
3/5
0
−2/5
m1, m2
−1, +1
1/5
−1/2
3/10
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1}
j
3
2
1
m
−1
−1
−1
m1, m2
0, −1
2/5
1/2
1/10
m1, m2
−1, 0
8/15
−1/6
−3/10
m1, m2
−2, +1
1/15
−1/3
3/5
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1}
j
3
2
m
−2
−2
m1, m2
−1, −1
2/3
1/3
m1, m2
−2, 0
1/3
−2/3
cd.
j
1
=
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=2,\ j_{2}=1}
j
3
m
−3
m1, m2
−2, −1
1
Sprzężenie stanów
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2}
edytuj
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2}
j
2
m
+2
m1, m2
+3/2, +1/2
1
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2}
j
2
1
m
+1
+1
m1, m2
+3/2, −1/2
1/4
3/4
m1, m2
+1/2, +1/2
3/4
−1/4
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2}
j
2
1
m
0
0
m1, m2
+1/2, −1/2
1/2
1/2
m1, m2
−1/2, +1/2
1/2
−1/2
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2}
j
2
1
m
−1
−1
m1, m2
−1/2, −1/2
3/4
1/4
m1, m2
−3/2, +1/2
1/4
−3/4
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2}
j
2
m
−2
m1, m2
−3/2, −1/2
1
Sprzężenie stanów
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1}
edytuj
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=3/2,j_{2}=1}
j
5/2
m
+5/2
m1, m2
+3/2, +1
1
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1}
j
5/2
3/2
m
+3/2
+3/2
m1, m2
+3/2, 0
2/5
3/5
m1, m2
+1/2, +1
3/5
−2/5
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1}
j
5/2
3/2
1/2
m
+1/2
+1/2
+1/2
m1, m2
+3/2, −1
1/10
2/5
1/2
m1, m2
+1/2, 0
3/5
1/15
−1/3
m1, m2
−1/2, +1
3/10
−8/15
1/6
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1}
j
5/2
3/2
1/2
m
−1/2
−1/2
−1/2
m1, m2
+1/2, −1
3/10
8/15
1/6
m1, m2
−1/2, 0
3/5
−1/15
−1/3
m1, m2
−3/2, +1
1/10
−2/5
1/2
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1}
j
5/2
3/2
m
−3/2
−3/2
m1, m2
−1/2, −1
3/5
2/5
m1, m2
−3/2, 0
2/5
−3/5
cd.
j
1
=
3
/
2
,
j
2
=
1
{\displaystyle j_{1}=3/2,\ j_{2}=1}
j
5/2
m
−5/2
m1, m2
−3/2, −1
1
Współczynniki Clebscha-Gordana są rozwiązaniami równań
|
j
1
,
j
2
;
J
,
M
⟩
=
∑
m
1
=
−
j
1
j
1
∑
m
2
=
−
j
2
j
2
|
j
1
,
m
1
;
j
2
,
m
2
⟩
⟨
j
1
,
j
2
;
m
1
,
m
2
∣
j
1
,
j
2
;
J
,
M
⟩
{\displaystyle |j_{1},j_{2};J,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}\rangle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle }
czyli
⟨
j
1
,
j
2
;
m
1
,
m
2
∣
j
1
,
j
2
;
J
,
M
⟩
=
δ
M
,
m
1
+
m
2
(
2
J
+
1
)
(
J
+
j
1
−
j
2
)
!
(
J
−
j
1
+
j
2
)
!
(
j
1
+
j
2
−
J
)
!
(
j
1
+
j
2
+
J
+
1
)
!
×
(
J
+
M
)
!
(
J
−
M
)
!
(
j
1
−
m
1
)
!
(
j
1
+
m
1
)
!
(
j
2
−
m
2
)
!
(
j
2
+
m
2
)
!
×
∑
k
(
−
1
)
k
k
!
(
j
1
+
j
2
−
J
−
k
)
!
(
j
1
−
m
1
−
k
)
!
(
j
2
+
m
2
−
k
)
!
(
J
−
j
2
+
m
1
+
k
)
!
(
J
−
j
1
−
m
2
+
k
)
!
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle \\[6pt]=\ &\delta _{M,m_{1}+m_{2}}{\sqrt {\frac {(2J+1)(J+j_{1}-j_{2})!(J-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}-J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\\[6pt]\times \ &{\sqrt {(J+M)!(J-M)!(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!}}\\[6pt]\times \ &\sum _{k}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}}.\end{aligned}}}
Sumowanie przebiega dla liczb k dla których każdy składnik jest nieujemny.
Dla skrócenia zapisu rozwiązania z
M
<
0
{\displaystyle M<0}
oraz
j
1
<
j
2
{\displaystyle j_{1}<j_{2}}
można obliczyć na podstawie prostych zależności
⟨
j
1
,
j
2
;
m
1
,
m
2
∣
j
1
,
j
2
;
J
,
M
⟩
=
(
−
1
)
J
−
j
1
−
j
2
⟨
j
1
,
j
2
;
−
m
1
,
−
m
2
∣
j
1
,
j
2
;
J
,
−
M
⟩
.
{\displaystyle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .}
oraz
⟨
j
1
,
j
2
;
m
1
,
m
2
∣
j
1
,
j
2
;
J
,
M
⟩
=
(
−
1
)
J
−
j
1
−
j
2
⟨
j
2
,
j
1
;
m
2
,
m
1
∣
j
2
,
j
1
;
J
,
M
⟩
.
{\displaystyle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle .}
David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles , Cambridge University Press, 2008.