Tożsamość Apoloniusza

Tożsamość Apoloniusza – tożsamość zachodząca w przestrzeniach prehilbertowskich.

Jeśli $x,y,z$ są wektorami przestrzeni prehilbertowską, to zachodzi równość:

$||w-u||^{2}+||w-v||^{2}={\frac {1}{2}}||u-v||^{2}+2||w-{\frac {1}{2}}(u+v)||^{2}.$

Dowód

Przyjmując $x=w-{\frac {1}{2}}(u+v)$ oraz $y={\frac {1}{2}}(u-v),$ otrzymujemy $x+y=w-v,$ $x-y=w-u.$ Wyciągając skalar ${\frac {1}{4}}=({\frac {1}{2}})^{2}$ przed pierwszą normę po prawej stronie, tezę otrzymujemy z tożsamości równoległoboku.

Interpretacja geometryczna

Ilustracja dowodu tożsamości Apoloniusza

W trójkącie ABC suma kwadratów dwóch boków trójkąta (AC i BC) jest równa sumie połowy kwadratu trzeciego boku (AB) i podwojonemu kwadratowi środkowej (CD) padającej na ten bok.

Również dowód można zinterpretować geometrycznie jako rozważenie równoległoboku DBC'C powstałego przez przesunięcie środkowej o odcinek DB. Wówczas ze względu na podobieństwo trójkątów $AC=DC'.$