Transformacja Holsteina-Primakoffa

Transformacja Holsteina-Primakoffa jest transformacją w mechanice kwantowej pozwalającą na wygenerowanie operatorów o spinowych regułach komutacji z operatorów kreacji i anihilacji dla oscylatora harmonicznego(operatory bozonowe)

Nowe operatory są opisywane następującymi wzorami:

${\hat {X}}_{i}^{+}={\sqrt {2S}}\varphi ({\hat {n}}_{i})a_{i},$

${\hat {X}}_{i}^{-}={\sqrt {2S}}a_{i}^{\dagger }\varphi ({\hat {n}}_{i}),$

${\hat {X}}_{i}^{z}=S-{\hat {n}}_{i},$

gdzie:

$\varphi ({\hat {n}}_{i})={\sqrt {1-{\frac {{\hat {n}}_{i}}{2S}}}},$

$S$ – spin cząstki opisywanej za pomocą operatorów $X,$

$a_{i}^{\dagger },a_{i}$ – operatory kreacji i anihilacji kwantowego oscylatora harmonicznego (operatory bozonowe).

Opisane w powyższy sposób operatory spełniają reguły komutacji charakterystyczne dla operatorów spinowych. Transformacja Holsteina-Primakoffa ma zastosowanie np. do opisu spinowych wzbudzeń kolektywnych – fal spinowych w krysztale w ramach modelu Heisenberga. Problemem pojawiającym się przy transformacji Holsteina-Primakoffa jest różnica w wymiarach przestrzeni, w których działają operatory bozonowe (stanów jest nieskończenie wiele) oraz operatory o spinowych relacjach komutacji(liczba stanów spinowych jest ograniczona do 2S+1). Niedogodność tą omija się narzucając ograniczenie w postaci warunku: ${\frac {\hat {n_{i}}}{2S}}\ll 1,$ co odpowiada ograniczeniu się do stanów leżących blisko stanu podstawowego (zakres niskich temperatur). Transformacja Holsteina-Primakoffa jest przykładem bozonizacji.

Linki zewnętrzne

• Oryginał pracy Holsteina-Primakoffa w Physical Review 58,1098(1940) (ang.)