Twierdzenie Dooba

Twierdzenie Dooba – Niech ciąg $(X_{n},F_{n})_{n=0}^{\infty }$ będzie martyngałem, a $\tau _{1}$ i $\tau _{2}$ skończonymi p.n. momentami stopu, takimi, że

$E|X_{\tau _{i}}|<\infty ,\,i=1,2.$

$\liminf _{n\to \infty }E(|X_{n}|1_{\{\tau _{i}>n\}})=0,\,i=1,2.$

Wtedy $E(X_{\tau _{2}}|F_{\tau _{1}})=X_{\tau _{1}}$ na zbiorze $\{\tau _{2}\geqslant \tau _{1}\}$ prawie na pewno.

Gdy $\mathbb {P} (\tau _{1}\leqslant \tau _{2})=1,$ to $E(X_{\tau _{2}}|{\mathcal {F}}_{\tau _{1}})=X_{\tau _{1}}$ prawie na pewno, czyli ciąg $(X_{\tau _{1}},{\mathcal {F}}_{\tau _{1}}),(X_{\tau _{2}},{\mathcal {F}}_{\tau _{2}})$ jest martyngałem.

Czasami wygodniej jest skorzystać z nieco mniej ogólnej wersji twierdzenia:

Niech ciąg $(X_{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{\infty }$ będzie nadmartyngałem (lub analogicznie – martyngałem) i niech $\tau _{1}\leqslant \tau _{2}$ będą dwoma ograniczonymi momentami stopu. Wtedy ciąg $(X_{\tau _{i}},{\mathcal {F}}_{\tau _{i}})_{i=1}^{2}$ jest nadmartyngałem (martyngałem).

Bibliografia edytuj

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-X.