Martyngał (rachunek prawdopodobieństwa)

Martyngałproces stochastyczny (ciąg zmiennych losowych), w którym warunkowa wartość oczekiwana zmiennej w momencie gdy znamy wartości do jakiegoś wcześniejszego momentu jest równa wartości w momencie

Trójwymiarowy proces Wienera jest przykładem martyngału

HistoriaEdytuj

Oryginalnie, termin martyngały oznaczał pewne strategie grania w gry hazardowe w XVIII-wiecznej Francji. Najprostsza z takich strategii stosuje się do gry polegającej na obstawianiu rzutu monetą, gdy odgadnięcie wyniku daje wygraną równą postawionej stawce. Strategia polega na podwajaniu stawki po każdej przegranej, tak że pierwsza wygrana pokrywa wszystkie straty i daje wygraną równą pierwotnej stawce. Ta strategia pozwala wygrać z prawdopodobieństwem równym 1, ale tylko przy założeniu że obstawiający ma nieograniczone zasoby pieniędzy. W praktyce wykładniczy wzrost stawek bardzo szybko doprowadziłby tak obstawiającą osobę do bankructwa.

Pojęcie martyngału wprowadził do teorii prawdopodobieństwa Paul Pierre Lévy, a teorię rozwinął Joseph Leo Doob. Jedną z motywacji powstania tej teorii było pokazanie niemożliwości istnienia wygrywających strategii w grach hazardowych.

Definicje formalneEdytuj

W przypadku dyskretnym, martyngał to dyskretny proces stochastyczny   spełniający dla wszystkich   warunki:

 
 

Ogólniej, ciąg   jest martyngałem w stosunku do ciągu   jeśli dla wszystkich   spełnia warunki:

 
 

Podobnie w przypadku ciągłym, ciągłym martyngałem w stosunku do procesu   jest proces stochastyczny   taki że dla dowolnego  

 
  dla dowolnego  

Oznacza to że wartość oczekiwana wyniku w momencie   jeśli znamy wartości do momentu   jest równa zmierzonej wartości w momencie   (o ile  ).

W pełnej ogólności, martyngałem względem filtracji jest para   taka, że

  •   jest przestrzenią probabilistyczną;
  •   jest procesem stochastycznym adaptowanym do filtracji   (czyli   jest  -mierzalne dla wszystkich  );
  •   dla wszystkich  
  •   dla wszystkich   gdzie   oznacza funkcję charakterystyczną zbioru  

Przykłady martyngałówEdytuj

  • Niech   będzie majątkiem gracza po rzuceniu   razy symetryczną monetą, jeśli gracz wygrywa 1 $ za każdego wyrzuconego orła i traci 1 $ za każdą wyrzuconą reszkę. Wartość oczekiwana majątku gracza w dowolnym momencie jest równa ostatniej znanej nam wartości tego majątku, a więc jest martyngałem.
  • Niech   gdzie   jest majątkiem gracza z poprzedniego przykładu. Ciąg   jest martyngałem. Można to wykorzystać do pokazania że oczekiwana wartość odchylenia od zera jest równa pierwiastkowi z liczby wykonanych rzutów.
  • (Martyngał de Moivre’a) Załóżmy że moneta którą rzuca gracz z pierwszego przykładu jest „sfałszowana”, tak że orzeł wypada z prawdopodobieństwem   a reszka z prawdopodobieństwem   Wtedy   jest martyngałem w stosunku do  
  • (Urna Pólya). Urna zawiera początkowo   czerwonych i   niebieskich kul. W każdym kroku wyciągamy losową kulę, i zwracamy ją do urny dokładając jeszcze jedną kulę tego koloru jak wylosowana. Niech   oznacza liczbę czerwonych kul w urnie po   takich losowaniach i niech   Wtedy ciąg   jest martyngałem.
  • Załóżmy że każda ameba albo dzieli się na dwie ameby potomne (z prawdopodobieństwem  ) albo umiera (z prawdopodobieństwem  ). Niech   oznacza liczbę ameb po   pokoleniach (w szczególności   jeśli populacja wymrze). Oznaczmy przez   prawdopodobieństwo że populacja kiedyś wymrze. Wtedy   jest martyngałem w stosunku do  

Podmartyngały i nadmartyngałyEdytuj

Dyskretny podmartyngał to ciąg   całkowalnych zmiennych losowych spełniający warunek

 

Analogicznie, nadmartyngał spełnia warunek

 

Ogólniejsze definicje martyngałów podane wcześniej można przekształcić w odpowiadające im definicje pod- i nadmartyngałów w identyczny sposób.

Przykłady podmartyngałów i nadmartyngałówEdytuj

  • Każdy martyngał jest zarazem podmartyngałem oraz nadmartyngałem. Odwrotnie: każdy proces stochastyczny, który jest podmartyngałem i nadmartyngałem, jest martyngałem.
  • Rozważmy ponownie gracza rzucającego monetą, gdy prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi  
    • Jeśli   jest równe 1/2, gracz średnio nic nie zyskuje ani nie traci – jego majątek w funkcji czasu jest martyngałem.
    • Jeśli   jest mniejsze niż 1/2, gracz średnio częściej traci niż zyskuje – jego majątek w funkcji czasu jest nadmartyngałem.
    • Jeśli   jest większe niż 1/2, gracz średnio częściej zyskuje niż traci – jego majątek w funkcji czasu jest podmartyngałem.
  • Dowolna funkcja wypukła określona na martyngale jest podmartyngałem (na podstawie nierówności Jensena). Przykładowo, kwadrat majątku gracza z pierwszego przykładu jest podmartyngałem (co wynika również z faktu że   jest martyngałem). Podobnie, każda funkcja wklęsła określona na martyngale jest nadmartyngałem.