Twierdzenie Seiferta-van Kampena

Twierdzenie Seiferta-van Kampena w topologii algebraicznej pozwala wyrazić grupę podstawową sumy spójnej zbiorów otwartych w zależności od grup podstawowych poszczególnych składników.

Treść twierdzenia

Niech $X$ będzie łukowo spójną przestrzenią topologiczną będącą sumą zbiorów otwartych $U_{1}$ oraz $U_{2}$ takich, że $x_{0}\in U_{1}\cap U_{2},$ gdzie $x_{0}$ jest punktem bazowym wszystkich grup podstawowych wspomnianych w twierdzeniu. Niech $j_{i}:U_{i}\hookrightarrow X$ będą włożeniami. Wtedy grupa podstawowa sumy $U_{1}\cup U_{2}$ jest produktem wolnym grup podstawowych $\pi _{1}(U_{1},x_{o})$ oraz $\pi _{1}(U_{2},x_{o})$ z amalgamacją wzdłuż $\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{o})$ oraz przemienny jest diagram

gdzie odwzorowania $i_{\alpha },j_{\alpha }$ są dla $\alpha \in \{1,2\}$ indukowane przez stosowne włożenia, zaś naturalny homomorfizm $k$ jest izomorfizmem.

Szczególne przypadki: $\pi _{1}(U_{1})=0$

Jeśli $\pi _{1}(U_{1})=0$ wtedy $\pi _{1}(X)=\pi _{1}(U_{2})/\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2}),$ co oznacza że doklejenie ściągalnej przestrzeni topologicznej powoduje że wynikowa grupa podstawowa jest grupą ilorazową z klasami równoważności danymi przez ściągalne pętle w części wspólnej $U_{1}$ i $U_{2}.$

Szczególne przypadki: $\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})=0$

Jeśli $\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})=0$ (na przykład kiedy $U_{1}\cap U_{2}$ jest ściągalna) wtedy produkt wolny z amalgamacją upraszcza się do produktu wolnego grup podstawowych. Ten szczególny przypadek po odpowiednich przekształceniach prowadzi do twierdzenia van Kampena o bukietach.

Twierdzenie van Kampena o bukietach

Pokrewne twierdzenie, które nie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Seiferta-van Kampena (punkt nie jest zbiorem otwartym), zachodzi dla bukietów.

Niech $X$ będzie bukietem przestrzeni $A$ oraz $B,$ tj. $X=A\vee B.$ Wtedy zachodzi następujący izomorfizm grup podstawowych zaczepionych w punkcie bazowym bukietu:

\pi _{1}(X)\cong \pi _{1}(A)*\pi _{1}(B).

Czyli grupa podstawowa bukietu jest produktem wolnym grup podstawowych składników bukietu.

Bibliografia

Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Część II. Topologia algebraiczna i topologia rozmaitości. Warszawa: PWN, 1986.
Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.
Peter May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999. ISBN 0-226-51183-9.