Twierdzenie Stewarta

Twierdzenie Stewarta – twierdzenie planimetrii wykorzystywane do obliczania długości czewian. Zostało udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta w 1746 roku.

Rysunek poglądowy dla twierdzenia Stewarta

Twierdzenie

Niech $a,$ $b,$ i $c$ będą długościami boków trójkąta. Niech $d$ będzie długością odcinka łączącego pewien punkt leżący na boku długości $a$ z wierzchołkiem naprzeciw tego boku (odcinek taki nazywamy czewianą). Jeżeli poprowadzony odcinek dzieli bok długości $a$ na odcinki o długościach $m$ i $n$ sąsiadujące odpowiednio z bokami $c$ i $b$, to:

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$

Dowód

Niech $\theta$ będzie kątem między $m$ i $d,$ zaś $\theta '$ kątem między $n$ i $d.$ Stosując twierdzenie cosinusów dla kątów $\theta$ oraz $\theta '$, otrzymujemy równości

$c^{2}=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta ,$

(1)

$b^{2}=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '.$

(2)

Ponieważ kąty $\theta$ i $\theta '$są przyległe, zachodzi równość $\cos \theta '=-\cos \theta ,$ czyli

$b^{2}=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta$

(3)

Mnożąc równanie (1) przez $n,$ a równanie (3) przez $m$ i dodając je stronami, otrzymujemy

${\begin{aligned}b^{2}m+c^{2}n&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}).\end{aligned}}$