Wielomiany Bernsteina
Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.
Dla funkcji wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:
gdzie to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:
Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni (w publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).
Własności wielomianów bazowych Bernsteina edytuj
Zależność rekurencyjna edytuj
Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:
Rozkład jedynki edytuj
Dodatniość edytuj
- dla
Symetria edytuj
Iloczyn edytuj
Pochodna edytuj
Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia edytuj
Aproksymacja jednostajna edytuj
Niech będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina jest jednostajnie zbieżny do funkcji
Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych edytuj
Wielomiany te dane są wzorem:
i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.