Wzór Larmora – wzór określający całkowitą moc wypromieniowaną przez nierelatywistyczny punkt posiadający ładunek elektryczny, kiedy przyspiesza bądź zwalnia. Znajduje zastosowanie w dziedzinie fizyki zwanej elektrodynamiką; nie dotyczy natomiast innego zjawiska nazwanego od tego samego uczonego, precesji Larmora w zjawisku klasycznego rezonansu magnetycznego. Wzór ten został wprowadzony po raz pierwszy przez J.J. Larmora w 1897 roku w kontekście teorii falowej natury światła[1].

Antena Yagi-Uda. Fale radiowe są emitowane z anteny poprzez przyspieszenie elektronów w tejże antenie. W tym koherentnym zjawisku całkowita moc wypromieniowana jest wprost proporcjonalna do kwadratu ilości przyspieszanych elektronów.

Kiedy naładowana cząstka (przykładowo elektron bądź proton) przyspiesza, emituje energię w postaci fali elektromagnetycznej. Dla prędkości, które są małe w stosunku do prędkości światła, całkowitą wypromieniowaną moc określa wzór Larmora:

(w jednostkach SI),
(w jednostkach cgs),

gdzie:

  • – przyspieszenie cząstki,
  • – ładunek elektryczny cząsteczki,
  • – prędkość światła w próżni.

Relatywistyczne uogólnienie jest opisane przez potencjał Liénarda-Wiecherta.

W każdym systemie jednostkowym, moc wypromieniowana przez pojedynczy elektron może zostać wyrażona w dziedzinie promienia i masy elektronu jako:

Wyprowadzenie

edytuj

Najpierw należy wprowadzić formułę pola elektrycznego i magnetycznego:

 

oraz

 

gdzie:

  •   – prędkość podzielona przez c,
  •   – przyspieszenie podzielone przez c,
  •   – wektor jednostkowy o kierunku takim jak kierunek wektora  
  •   =  
  •   – miejsce ładunku,
  •  

Wielkości po prawej stronie zależności są określane w czasie opóźnionym o czas dotarcia fali do określonego miejsca równy:

 

Po prawej stronie równania jest suma pola elektrycznego związanego z prędkością i przyspieszeniem naładowanej cząstki. Pole prędkości zależy tylko od   a pole przyspieszenia zależy od obu   i   oraz kąta między nimi. Ponieważ pole prędkości jest proporcjonalne do   więc maleje bardzo szybko wraz ze wzrostem odległości. Z drugiej strony pole przyspieszenia jest proporcjonalne do   co oznacza, że maleje znacznie wolniej ze wzrostem odległości.

Można znaleźć gęstość strumienia energii pola promieniowania, obliczając jego wektor Poyntinga:

 

gdzie indeksy „a” podkreślają, że bierzemy tylko pole przyspieszenia. Podstawienie do wzoru zależności między polem magnetycznym i elektrycznym przy założeniu, że cząsteczka natychmiast spoczywa w czasie   w uproszczeniu daje:

 

Jeśli kąt między przyspieszeniem a wektorem obserwacyjnym oznaczy się przez   i wprowadzi przyspieszenie   wtedy moc emitowana na jednostkę kąta bryłowego jest równa:

 

Całkowitą moc promieniowania można uzyskać poprzez całkowanie tej wartości po wszystkich kątach, daje nam to formułę całkowitą wzoru Larmora:

 

Przypisy

edytuj
  1. Larmor J, LXIII. On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions, „Philosophical Magazine”, 44, 1897 (5), s. 503–512, DOI10.1080/14786449708621095.

Bibliografia

edytuj