Analiza dynamiczna

Analiza dynamiczna jest badaniem odpowiedzi układu mechanicznego poddanego działaniu wymuszenia zmiennego w czasie

Analiza dynamiczna jest analitycznym badaniem odpowiedzi (czyli zachowania się) układu mechanicznego poddanego działaniu wymuszenia (obciążenia) zmiennego w czasie[1]. Badanie takie jest możliwe tylko na podstawie konkretnego modelu obliczeniowego. Dla realnych układów mechanicznych zaproponowanie adekwatnego modelu jest jednak możliwe jedynie wtedy, gdy znane są rzeczywiste własności dynamiczne modelowanego obiektu. Można je określić tylko na podstawie odpowiednich pomiarów wykonanych na tym obiekcie.

Najczęściej stosowane w praktyce obliczeniowej są modele powstające w wyniku zastosowania dyskretnego opisu wszystkich (także nieliniowych) własności fizycznych badanych obiektów np. za pomocą metody elementów skończonych[2][3].

Model dyskretnyEdytuj

Najbardziej uniwersalnym podejściem do analizy dynamicznej jest budowa liniowego modelu dyskretnego o skończonej liczbie stopni swobody[1][4]. Model taki wykorzystywany jest powszechnie w metodach takich jak np. metoda elementów skończonych. Istota tego modelu polega na opisaniu pola przemieszczeń kontinuum w sposób przybliżony, za pomocą prostych funkcji np. wielomianów zbudowanych na bazie parametrów przypisanych węzłom dostatecznie gęstej siatki dzielącej kontinuum na elementy o skończonych rozmiarach (elementy skończone)[2]. Dzięki temu stan przemieszczenia w takim modelu może być jednoznacznie opisany za pomocą wektora   o skończonej liczbie współrzędnych mających interpretację przemieszczeń węzłowych. W takiej interpretacji na węzły układu działają siły czynne

  •   – sprężystości,
  •   – tłumienia,
  •   – bezwładności,

gdzie przez K, C i M oznaczono macierze o rozmiarach   odpowiednio: sztywności, tłumienia i bezwładności.

Na podstawie równania (ruchu) równowagi w sensie d’Alemberta

 

otrzymujemy

 

Równanie (a) stanowi podstawę analizy dynamicznej.

Całkowanie równania ruchuEdytuj

Podstawowym celem analizy dynamicznej jest obliczanie odpowiedzi   modelu na działające wymuszenie   Poza nielicznymi przypadkami szczególnymi, kiedy można uzyskać ścisłe rozwiązanie analityczne, odpowiedź musi być liczona numerycznie[1]. Istnieje wiele algorytmów numerycznego całkowania równania ruchu. W każdym z tych algorytmów operuje się odpowiednimi aproksymacjami funkcji   bądź też  

Najczęściej stosowane algorytmy ogólne, umożliwiające obliczenia odpowiedzi również w przypadkach nieliniowych, działają na zasadzie krok-po-kroku. I tak na przykład przy całkowaniu z krokiem   równania

 

metodą QDAMN stosuje się przekształcenie

 

i na podstawie warunków początkowych ruchu w chwili  

 

oblicza się pierwsze przybliżenie wartości rozwiązania w punkcie  

 

Kolejne przybliżenia otrzymuje się iteracyjnie na podstawie wzorów rekurencyjnych dla  

 
 
 

w których przez   oznaczono interpolacyjne wielomiany Hermite’a piątego stopnia przybliżające funkcję   i jej pochodną   w przedziale  

Częstości i formy własneEdytuj

Każdy model układu drgającego, o n stopniach swobody, odznacza się pewnymi charakterystycznymi właściwościami dynamicznymi[2]. Okazuje się mianowicie, że może on wykonywać proste, pojedyncze drgania harmoniczne, ale tylko ze ściśle określonymi tzw. kołowymi częstościami drgań własnych  Częstości te tworzą widmo dyskretne

 

Te pojedyncze drgania harmoniczne o postaci

 

są to tzw. drgania własne polegające na ruchu modelu określonym formą drgań własnych

 

opisującą konfigurację przestrzenną układu drgającego z częstością własną  

Częstości   i formy drgań własnych   oblicza się na podstawie równania swobodnych drgań nietłumionych modelu

 

Jego rozwiązania o postaci

 

istnieją, gdy spełniony jest warunek

 

Istnienie nie zerowych rozwiązań   wymaga, aby było spełnione tzw. równanie wiekowe (sekularne) częstości.

 

Jego rozwiązania tworzą widmo częstości drgań własnych układu. Na podstawie znanych już   można poszukiwać rozwiązań   równania (b) określających formy drgań własnych. Mogą być one wyznaczone z dokładnością do stałego mnożnika.

Wykorzystując tożsamości

 
 

i dokonując transpozycji z wykorzystaniem symetrii macierzy M i K otrzymujemy przy założeniu, że   warunek ortogonalności form drgań własnych

 

Jeżeli wprowadzimy nowe wektory (bazowe)   takie, że   to otrzymamy

 

Po wprowadzeniu macierzy modalnej   otrzymujemy

  i na podstawie (a)  

gdzie przez   oznaczono macierz jednostkową.

Obliczenie częstości własnych   i odpowiadających im bazowych form własnych   kończy proces rozwiązywania problemu własnego drgającego modelu.

Dowolną formę drgań swobodnych i jej pochodną można teraz zapisać w postaci

 
 

Po wykorzystaniu (c) warunki początkowe ruchu   prowadzą do wzorów

 

Na ich podstawie otrzymujemy następujące wartości parametrów  

  • gdy  
  • gdy  
  • gdy  
  • gdy  

Analiza modalnaEdytuj

Dysponowanie bazą form drgań własnych   pozwala zapisać dowolną formę drgań (swobodnych lub wymuszonych) w postaci

 

przedstawiającej tę dowolną formę jako zmienną w czasie kombinację liniową unormowanych form drgań własnych tworzących bazę   Po podstawieniu tej reprezentacji do równania ruchu

 

otrzymujemy

 

Mnożąc lewostronnie przez   i uwzględniając związki (c) mamy

 

gdzie  

W celu sprowadzenia macierzy   do postaci diagonalnej najczęściej stosuje się przyjęcie, że   dzięki któremu macierz   przybiera postać

 

Dzięki tym zabiegom wektorowe równanie ruchu (d) rozpada się na n niezależnych równań skalarnych

 

Gdy wymuszenie ma postać modalną   wówczas mamy

 

czyli

  gdy  

Tylko taka, modalna postać wymuszenia, może wywołać drgania (modalne) opisane pojedynczą, k-tą formą drgań własnych.

Każda z funkcji   opisuje udział (modalny) i-tej formy drgań własnych   w odpowiedzi   modelu.

Poszczególne równania (f) można, w prostych przypadkach wymuszeń, rozwiązywać analitycznie bądź też w przypadkach złożonych stosować całkowanie numeryczne. Istotne ułatwienie stanowi fakt, że są to niezależne od siebie równania skalarne. Każda z funkcji modalnych   występuje tylko w jednym i-tym równaniu i jej obliczenie przebiega tak jak dla tłumionego oscylatora harmonicznego.

W przypadku szczególnym, gdy model poddany jest wymuszeniu harmonicznemu z częstością kołową  

 

mamy

 

Rozwiązanie równania (e) o postaci

 

zostaje, po podstawieniu funkcji   do (e), określone w sposób następujący

 

gdzie:

 

W przypadku rezonansu tłumionego na częstości   otrzymujemy

 

Gdy   odpowiedź określają wzory

 

opisujące zjawiska rezonansowe na częstościach  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c B.Olszowski, M.Radwańska, Mechanika budowli, t. 1-2, Politechnika Krakowska, Kraków 2010
  2. a b c J.Kruszewski i inni, Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, Warszawa 1984, Arkady
  3. J.Kruszewski i inni, Metoda sztywnych elementów skończonych, Warszawa 1975, Arkady
  4. W.Nowacki, Dynamika budowli, Arkady, Warszawa 1974