Automat ze stosem

Automat ze stosem (ang. pushdown automaton, PDA) – automat skończony, który może dodatkowo korzystać ze stosu do przechowywania danych. Domyślnie przyjmuje się, że ten automat jest automatem niedeterministycznym. Takie automaty są równoważne pod względem siły wyrazu gramatykom bezkontekstowym, rozpoznając języki bezkontekstowe. Jeśli nie dopuszcza się możliwości niedeterminizmu, otrzymuje się słabszy model automatu nazywany deterministycznym automatem ze stosem.

Przykładowy diagram automatu ze stosem

Wyposażenie automatu skończonego w dwa stosy zamiast jednego, daje model obliczeń równoważny maszynie Turinga.

DefinicjaEdytuj

Automat ze stosem definiuje się jako siódemkę   gdzie:

  •   jest skończonym zbiorem stanów,
  •   jest skończonym alfabetem symboli wejściowych,
  •   jest skończonym alfabetem symboli stosowych,
  •   jest stanem początkowym,
  •   jest (opcjonalnym) początkowym elementem na stosie,
  •   jest zbiorem stanów końcowych,
  •   jest skończonym zbiorem dopuszczalnych przejść.

W literaturze spotyka się dwa kryteria akceptacji wejściowego ciągu: akceptacja przez pusty stos i akceptacja przez stan końcowy. Łatwo pokazać, że te dwa kryteria są równoważne: stan końcowy może w pętli zawsze czyścić stos do końca, natomiast automat może łatwo wykryć pusty stos i wejść w stan końcowy, gdy odczyta unikatowy symbol umieszczany tam wyłącznie w stanie początkowym.

InterpretacjaEdytuj

Automat ze stosem możemy interpretować jako graf skierowany o wierzchołkach ze zbioru   a krawędziach zdefiniowanych przez relację przejścia   Krawędzie są etykietowane przez litery z alfabetu   Aby sprawdzić, czy pewne słowo   należy do języka akceptowanego przez ten automat, należy przeprowadzić obliczenie na tym automacie. W tym celu szukamy ścieżki, która zaczyna się w stanie początkowym   z symbolem   na stosie, kończy w którymś ze stanów końcowych   z pustym stosem oraz litery, którymi etykietowane są krawędzie, po których przechodzimy, tworzą słowo   Po automacie przechodzimy zgodnie z relacją przejścia.

Interpretacja relacji przejścia jest następująca:   gdzie   jest ciągiem elementów z alfabetu   oznacza, że ze stanu   można przejść po krawędzi etykietowanej literą   do stanu   przy okazji na stosie wykonując operacje: najpierw zdjęcia ze stosu litery   (ruch jest dozwolony, jeśli na górze stosu jest właśnie taka litera), a potem wrzucenia na stos po kolei liter słowa  

Uogólniony automat ze stosem (ang. Generalized Pushdown Automaton, GPDA)Edytuj

Uogólniony automat ze stosem jest rozszerzeniem automatu ze stosem o możliwość zapisu i usuwania ciągów ze stosu w jednym kroku.

Formalnie, uogólniony automat ze stosem jest definiowany jako szóstka  

gdzie   i   są zdefiniowane tak samo jak dla automatów ze stosem.
  jest funkcją przejścia.

Reguły obliczeń dla GPDA są takie same jak dla PDA, z wyjątkiem tego że   i   są ciągami, a nie symbolami.

GPDA i PDA są równoważne: dla każdego języka rozpoznawanego przez GPDA istnieje PDA rozpoznający ten język, i odwrotnie.

Dowód równoważności powyższych klas automatów można przeprowadzić, używając następującej symulacji:

Niech   będzie przejściem GPDA

gdzie            

Skonstruujmy następujące przejścia dla PDA: