Dekompozycja Kalmana

Dekompozycja Kalmana – termin używany w teorii sterowania na określenie konwersji realizacji stacjonarnego liniowego układu regulacji do postaci, w której układ ujawnia części obserwowalną i sterowalną co pozwala na wyciągnięcie wniosków odnośnie do osiągalnych i obserwowalnych podprzestrzeni dla danego układu.

Notacja

Wyprowadzenie przebiega tak samo zarówno dla (stacjonarnych) układów czasu ciągłego, jak i układów dyskretnych. Niech dany będzie liniowy, stacjonarny układ ciągły opisany równaniami stanu:

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t),$

$y(t)=Cx(t)+Du(t).$

Układ taki można opisać za pomocą krotki czterech macierzy $(A,B,C,D).$ Niech rząd systemu wynosi $n.$ Wówczas dekompozycja Kalmana zdefiniowana jest jako transformacja krotki $(A,B,C,D)$ do postaci $({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})$ w następujący sposób:

${\hat {A}}=T^{-1}AT,$

${\hat {B}}=T^{-1}B,$

${\hat {C}}=CT,$

${\hat {D}}=D.$

$T$ jest macierzą odwrotną o rozmiarach $n\times n$ zdefiniowaną jako:

$T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},$

gdzie:

$T_{r{\overline {o}}}$ – macierz, której kolumny rozpięte są w podprzestrzeni stanów, które są zarówno osiągalne, jak i nieobserwowalne;

$T_{ro}$ – jest tak dobrana, że kolumny ${\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}\end{bmatrix}}$ stanowią bazę dla podprzestrzeni osiągalnej;

$T_{\overline {ro}}$ – jest tak dobrana, że kolumny ${\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}$ stanowią bazę dla podprzestrzeni nieobserwowalnej;

$T_{{\overline {r}}o}$ – jest tak dobrana, że macierz ${\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}$ jest odwrotna.

Można zauważyć, że niektóre z tych macierzy mogą mieć wymiar równy zero. Na przykład jeśli system jest zarówno obserwowalny, jak i sterowalny, wówczas $T=T_{ro},$ co sprawia, że inne macierze mają wymiar zerowy.

Forma standardowa

Korzystając z wyników dla sterowalności i obserwowalności, można pokazać, że układ po transformacji $({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})$ ma macierze o następującej postaci:

${\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}$

${\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}$

${\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}$

${\hat {D}}=D$

Prowadzi to do wniosku, że:

• Podukład $(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)$ jest zarówno osiągalny, jak i obserwowalny.
• Podukład $\left({\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}\\0&A_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix}},D\right)$ jest osiągalny.
• Podukład $\left({\begin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}\\0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C_{ro}&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)$ jest obserwowalny.

Zobacz też

• układ regulacji stałowartościowej