Hipoteza Elliotta-Halberstama

Hipoteza Elliotta-Halberstama jest problemem otwartym teorii liczb. Hipoteza, nazwana po Peterze D.T.A. Elliocie i Heinim Halberstamie, dotyczy szacowania ilości liczb pierwszych występujących w ciągach arytmetycznych. Treść hipotezy została sformułowana po raz pierwszy w 1968 r.

Hipoteza należy do dziedziny teorii sit. Jej prawdziwość miałaby ogromny wpływ na postępy w ustalaniu najmniejszej różnicy występującej między liczbami pierwszymi nieskończenie wiele razy.

Treść hipotezy

Niech $\pi (x)$ oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze, a $\pi (x;q,a)$ oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze w ciągu arytmetycznym $a+nq$ $(n=0,1,2,\dots ).$ Oznaczmy

$E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|,$

gdzie $(x,y)$ oznacza największy wspólny dzielnik liczby $x$ i $y,$ a $\varphi$ to tocjent Eulera. Wówczas dla każdej stałej $\theta <1$ i stałej $A>0$ zachodzi zależność

$\sum _{1\leqslant q\leqslant Q}E(x;q)=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right)$

dla ${\textstyle Q=x^{\theta }}$ i wszystkich $x>2$ (przy czym stała uwzględniona w notacji dużego O zależy jedynie od $\theta$ i $A$).

Modyfikacje i znane wyniki

Treść hipotezy, dla ustalonej stałej $\theta ,$ zwykle bywa skracana do $EH[\theta ]$.

$EH[\theta ]$ została udowodniona dla wszystkich ${\textstyle \theta \in \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ przez Enrico Bombieriego i Iwana Winogradowa (wynik ten znany jest powszechnie jako twierdzenie Bombieriego-Winogradowa). Dodatkowo wiadomo, że $EH[\theta ]$ dla $\theta =1$ nie jest prawdziwa.

Motohashi-Pintz-Zhang

Yoichi Motohashi, János Pintz i Zhang Yitang zaproponowali i, w szczególnych przypadkach, udowodnili hipotetyczną zależność

$\sum _{\begin{array}{c}1\leqslant q\leqslant Q\\q\in S\end{array}}E_{0}(x;q)=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right),$

gdzie $Q=O\left(x^{\theta }\right),$ ${\textstyle \theta ={\frac {1}{2}}+2\omega ,}$ $I\subset [1,x^{\delta }],$ a $S$ oznacza zbiór liczb bezkwadratowych o dzielnikach pierwszych w $I.$ Dodatkowo przyjmujemy

$E_{0}(x;q)=\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|,$

tzn. pomijamy maksimum występujące w pierwotnej hipotezie, ale pozwalamy, aby klasa reszt $a({\text{mod }}q)$ była zależna od $x$ pod warunkiem, że $(a,P_{I})=1,$ gdzie

$P_{I}=\prod _{p\in I}p,$

tzn. $P_{I}$ to iloczyn wszystkich liczb pierwszych w $I.$

Powyższa hipoteza, znana w literaturze jako szacowanie Motohashiego-Pintza-Zhanga, dla ustalonych $\omega$ i $\delta$ bywa zapisywana skrótowo jako $MPZ[\omega ,\delta ]$. Wiadomo, że $MPZ[\omega ,\delta ]$ jest prawdą dla $\omega ,\delta \geqslant 0$ takich, że $600\omega +180\delta <7$.

Uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama

Niech $\tau (n)$ oznacza liczbę dodatnich dzielników całkowitych liczby $n.$ Dodatkowo, niech $N,$ $M$ będą wartościami zależnymi od $x,$ takimi, że $x^{\epsilon }\leqslant x^{o(1)}N$ i $M\leqslant x^{1-\epsilon +o(1)}$ oraz $NM\asymp x$ dla $\epsilon >0,$ gdzie $o(1)$ i $\asymp$ oznaczają notację asymptotyczną.

Załóżmy, że funkcje $\alpha \colon [N,2N]\to \mathbb {R}$ i $\beta \colon [M,2M]\to \mathbb {R}$ różne od 0 spełniają zależności

$|\alpha (n)|\ll \tau (n)^{O(1)}(\log x)^{O(1)}$

oraz

$|\beta (m)|\ll \tau (m)^{O(1)}(\log x)^{O(1)},$

gdzie $O(1)$ oznaczają pewne stałe. Załóżmy dodatkowo, że $\beta$ spełnia ograniczenie typu Siegela-Walfisza,

$\left|\sum _{\begin{array}{c}n\equiv a({\text{mod }}q)\\(n,r)=1\end{array}}\beta (n)-{\frac {1}{\varphi (q)}}\sum _{\begin{array}{c}(n,q)=1\\(n,r)=1\end{array}}\beta (n)\right|\ll \tau (qr)^{O(1)}{\frac {M}{(\log x)^{A}}},$

dla dowolnych $q,r\geqslant 1$ oraz $(a,q)=1.$ Oznaczmy

$E(f;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\sum _{n\equiv a({\text{mod }}q)}f(n)-{\frac {1}{\varphi (q)}}\sum _{(n,q)=1}f(n)\right|.$

Wówczas

$\sum _{1\leqslant q\leqslant Q}E(\alpha *\beta ;q)\ll {\frac {x}{(\log x)^{A}}}$

dla $Q\leqslant x^{o(1)+\theta },$ gdzie $\alpha *\beta$ oznacza splot Dirichleta funkcji $\alpha$ i $\beta .$

Powyższą treść zwykle zapisuje się jako $GEH[\theta ]$ (z ang. generalised Elliott-Halberstam conjecture), a ogólne sformułowanie „uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama” dotyczy prawdziwości $GEH[\theta ]$ dla wszystkich $\theta \in (0,1)$.

Wiadomo, że $GEH[\theta ]$ jest prawdziwa dla ${\textstyle \theta \in \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ jako uogólnione twierdzenie Bombieriego-Winogradowa.

Znaczenie hipotezy

Hipoteza Elliota-Halberstama – zarówno pierwotna, jak i uogólniona – mają ogromny wpływ na wyniki dotyczące różnic między liczbami pierwszymi.

Oznaczmy

$H_{m}=\liminf _{n\to \infty }(p_{n+m}-p_{n}),$

gdzie $p_{n}$ oznacza $n$-tą liczbę pierwszą.

Znane są następujące wyniki.

$m$	$\geqslant H_{m}$ (wykazane bezwarunkowo)	$\geqslant H_{m}$ (zakładając hipotezę EH)	$\geqslant H_{m}$ (zakładając GEH)
1	246	–	6
2	398 130	270	252
3	24 797 814	52 116	–
4	1 431 556 072	474 266	–
5	80 550 202 480	4 137 854	–
$m\geqslant 1$	$Cm\exp \left(\left(4-{\frac {28}{157}}\right)m\right)$	$Cme^{2m}$	–