Kryterium Schlömilcha

Kryterium Schlömilcha – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez niemieckiego matematyka, Oskara Schlömilcha.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$

(A)

o wyrazach dodatnich. Niech ponadto

$S_{n}=n\cdot \ln {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\quad (n\in \mathbb {N} ).$

• Jeżeli

$\liminf _{n\to \infty }S_{n}>1$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność $S_{n}\leqslant 1,$ to szereg (A) jest rozbieżny.

Przykład zastosowania

Kryterium Schlömilcha pozwala stwierdzać rozbieżność niektórych szeregów których zbieżności nie rozstrzyga kryterium Raabego. Na przykład kryterium Raabego nie rozstrzyga o rozbieżności szeregu

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!]^{2}}},$

gdyż

$R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\to 1^{+}.$

Z drugiej jednak strony

$S_{n}=n\cdot \ln {\big (}1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}{\big )}<1$

dla dostatecznie dużych $n$.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Niech

$a_{n}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2}}}.$

W tym wypadku

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}},$

a zatem ciąg $(S_{n})$ maleje oraz jego granicą jest $1$.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966. Brak numerów stron w książce
• K. Knopp: Theory and Application of Infinite Series. Wyd. 2. London: Blackie & Son, Ltd., 1964. Brak numerów stron w książce
• FranciszekF. Prus-Wiśniowski FranciszekF., Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests, „Tatra Mt. Math. Publ.” (42), 2009, s. 119–130 .